Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten
Discriminant gelijk aan nul
Karakteristieke vergelijking met discriminant gelijk aan nul We bekijken de homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten, geschreven in de volgende vorm: \[a\,\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\,\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y(t)=0\] De bijpassende karakteristieke vergelijking is \[a\,\lambda^2+b\,\lambda+c=0\]
We beperken ons tot het geval dat de discriminant \(D=b^2-4ac\) gelijk aan nul is. Dan is er volgens de abc-formule dus één reëel nulpunt, namelijk \[\lambda=\frac{-b}{2a}\] De volgende functie is dan een oplossing van de differentiaalvergelijking \[y_1(t)=e^{\lambda t}\] Maar zijn er misschien nog meer? Jazeker en wel \[y_2(t)=t\,e^{\lambda t}\] De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking kan geschreven worden als \[y(t)=c_1\,y_1(t)+c_2\,y_2(t)=c_1\,e^{\lambda t}+c_2\, t\, e^{\lambda t}=(c_1+c_2 t) e^{\lambda t}\] voor zekere constanten \(c_1\) en \(c_2\). Deze constanten worden door randvoorwaarden vastgelegd.
De discriminant \(D\) van de karakteristieke vergelijking \[\lambda^2+4\lambda+4=0\] is gelijk aan \[D=(4\times 4)-(4\times 4) = 0 \] Er is één oplossing van de karakteristieke vergelijking, namelijk \[\lambda= \frac{-4}{2}=-2\] Als je de gelijkheid \[\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2\] via ontbinding in factoren via inspectie gevonden had of een merkwaardig product herkend had, was deze conclusie evident geweest.
De differentiaalvergelijking heeft dus de volgende algemene oplossing: \[y(t)=(A+B\,t)\,e^{-2t}\] met constanten \(A\) en \(B\).
Met behulp van de beginwaarden \[y(0)=1, \qquad \frac{\dd y}{\dd t}(0)=2\] stellen we vergelijkingen op waaraan \(A\) en \(B\) moeten voldoen. Invullen van \(t=0\) en \(y(0)=1\) in de algemene oplossing \(y(t)=(A+B\,t)\,e^{-2t}\) geeft \[A=1\] Om de tweede beginwaarde te kunnen gebruiken hebben we de afgeleide van de algemene oplossing nodig; deze is te bereken met rekenregels voor differentiëren en de afgeleide van de exponentiële functie: \[y'(t)=B\,e^{-2t}-2(A+B\,t)\,e^{-2t}\] Invullen van \(t=0\) en \(y'(0)=2\) geeft de vergelijking \[B-2A=2\] We hebben dus te maken met het volgende stelsel van vergelijkingen voor de onbekenden \(A\) en \(B\): \[\left\{\begin{aligned}A &= 1\\ B-2A&= 2\end{aligned}\right.\] De oplossing van dit stelsel vergelijkingen is \[A=1 \qquad\text{en}\qquad B=4\] De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus \[y(t)=\left(4\,t+1\right)\e^ {- 2\,t }\]