Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten
Negatieve discriminant
Karakteristieke vergelijking met negatieve discriminant We bekijken de homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten, geschreven in de volgende vorm
De bijpassende karakteristieke vergelijking is
We beperken ons tot het geval dat de discriminant negatief is. Dan zijn er volgens de abc-formule dus twee complexe nulpunten, zeg
De volgende twee functies zijn dan oplossingen van de differentiaalvergelijking
Sterker nog, elke oplossing kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze twee 'basisoplossingen'.
Je voelt je misschien wat gemakkelijker als er niet met complexe oplossingen gewerkt wordt, maar enkel met reële getallen en reële functies. Dit kan geregeld worden door met speciale combinaties van de complexe oplossingen te werken. Stel dat de standaardvorm van het complexe getal gelijk is aan , dan is het complexe getal gelijk is aan en
De nulpunten zijn elkaars complex geconjugeerden. Dan geldt:
Hier heb je de eerste reële oplossing van de differentiaalvergelijking. Een andere combinatie geeft een tweede reële oplossing
Een lineaire combinatie van deze twee reële oplossingen geeft de algemene oplossing
voor zekere constanten en . Deze constanten worden door randvoorwaarden vastgelegd.
Los het volgende beginwaardeprobleem op:
De discriminant van de karakteristieke veelterm
is gelijk aan
De nulpunten van de karakteristieke veelterm zijn dus complex en wel volgens de \(abc\)-formule gelijk aan
De differentiaalvergelijking heeft dan de volgende algemene oplossing:
met constanten en .
Met behulp van de beginwaarden
stellen we vergelijkingen op waaraan en moeten voldoen. Invullen van en in de algemene oplossing geeft
Om de tweede beginwaarde te kunnen gebruiken hebben we de afgeleide van de algemene oplossing nodig; deze is te bereken met rekenregels voor differentiëren en de afgeleiden van goniometrische functies:
Invullen van en geeft de vergelijking
We hebben dus te maken met het volgende stelsel van vergelijkingen voor de onbekenden en :
De oplossing van dit stelsel vergelijkingen is
De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus
Ontgrendel volledige toegang