Karakteristieke vergelijking met negatieve discriminant We bekijken de homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten, geschreven in de volgende vorm \[a\,\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b\,\frac{\dd y}{\dd t}+c\,y(t)=0\] De bijpassende karakteristieke vergelijking is \[a\,\lambda^2+b\,\lambda+c=0\]

We beperken ons tot het geval dat de discriminant \(D=b^2-4ac\) negatief is. Dan zijn er volgens de abc-formule dus twee complexe nulpunten, zeg \[\lambda_1=\frac{-b+\mathrm{i}\,\sqrt{-D}}{2a}\qquad\text{en}\qquad \lambda_2=\frac{-b-\mathrm{i}\,\sqrt{-D}}{2a}\] De volgende twee functies zijn dan oplossingen van de differentiaalvergelijking \[y_1(t)=e^{\lambda_1t}\qquad\text{en}\qquad y_2(t)=e^{\lambda_2t}\] Sterker nog, elke oplossing kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze twee 'basisoplossingen'.

Je voelt je misschien wat gemakkelijker als er niet met complexe oplossingen gewerkt wordt, maar enkel met reële getallen en reële functies. Dit kan geregeld worden door met speciale combinaties van de complexe oplossingen te werken. Stel dat de standaardvorm van het complexe getal \(\lambda_1\) gelijk is aan \(\alpha+\mathrm{i}\,\beta\), dan is het complexe getal \(\lambda_2\) gelijk is aan \(\alpha-\mathrm{i}\,\beta\) en \[\alpha=-\frac{b}{2a}\qquad\text{en}\qquad \beta=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\] De nulpunten zijn elkaars complex geconjugeerden. Dan geldt: \[\begin{aligned}\frac{e^{\lambda_1t} +e^{\lambda_2t}}{2} &= \frac{e^{(\alpha+\mathrm{i}\,\beta)t} +e^{(\alpha-\mathrm{i}\,\beta)t}}{2}\\ \\ &= \e^{\alpha t}\,\frac{e^{\mathrm{i}\,\beta\, t} +e^{-\mathrm{i}\,\beta\, t}}{2}\\ \\ &= e^{\alpha t}\cos(\beta t)\end{aligned}\]Hier heb je de eerste reële oplossing van de differentiaalvergelijking. Een andere combinatie geeft een tweede reële oplossing \[\begin{aligned}\frac{e^{\lambda_1t} -e^{\lambda_2t}}{2\mathrm{i}} &= \frac{e^{(\alpha+\mathrm{i}\,\beta)t} -e^{(\alpha-\mathrm{i}\,\beta)t}}{2\mathrm{i}}\\ \\ &= \e^{\alpha t}\,\frac{e^{\mathrm{i}\,\beta\, t} +e^{-\mathrm{i}\,\beta\, t}}{2\mathrm{i}}\\ \\ &= e^{\alpha t}\sin(\beta t)\end{aligned}\] Een lineaire combinatie van deze twee reële oplossingen geeft de algemene oplossing \[y(t)=e^{\alpha t}\cdot\bigl(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\bigr)\] voor zekere constanten \(A\) en \(B\). Deze constanten worden door randvoorwaarden vastgelegd.