Gewone differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde GDVs met constante coëfficiënten
Negatieve discriminant
Karakteristieke vergelijking met negatieve discriminant We bekijken de homogene lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde met constante coëfficiënten, geschreven in de volgende vorm De bijpassende karakteristieke vergelijking is
We beperken ons tot het geval dat de discriminant negatief is. Dan zijn er volgens de abc-formule dus twee complexe nulpunten, zeg De volgende twee functies zijn dan oplossingen van de differentiaalvergelijking Sterker nog, elke oplossing kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze twee 'basisoplossingen'.
Je voelt je misschien wat gemakkelijker als er niet met complexe oplossingen gewerkt wordt, maar enkel met reële getallen en reële functies. Dit kan geregeld worden door met speciale combinaties van de complexe oplossingen te werken. Stel dat de standaardvorm van het complexe getal gelijk is aan , dan is het complexe getal gelijk is aan en De nulpunten zijn elkaars complex geconjugeerden. Dan geldt: Hier heb je de eerste reële oplossing van de differentiaalvergelijking. Een andere combinatie geeft een tweede reële oplossing Een lineaire combinatie van deze twee reële oplossingen geeft de algemene oplossing voor zekere constanten en . Deze constanten worden door randvoorwaarden vastgelegd.
De discriminant van de karakteristieke veelterm is gelijk aan De nulpunten van de karakteristieke veelterm zijn dus complex en wel volgens de \(abc\)-formule gelijk aan De differentiaalvergelijking heeft dan de volgende algemene oplossing: met constanten en .
Met behulp van de beginwaarden stellen we vergelijkingen op waaraan en moeten voldoen. Invullen van en in de algemene oplossing geeft Om de tweede beginwaarde te kunnen gebruiken hebben we de afgeleide van de algemene oplossing nodig; deze is te bereken met rekenregels voor differentiëren en de afgeleiden van goniometrische functies: Invullen van en geeft de vergelijking We hebben dus te maken met het volgende stelsel van vergelijkingen voor de onbekenden en : De oplossing van dit stelsel vergelijkingen is De oplossing van het beginwaardeprobleem is dus