Terminologie

Gewone differentiaalvergelijkingen: Inleiding

Terminologie

De algemene vorm van een gewone differentiaalvergelijking voor een functie $y$ van één variabele $t$ is een vergelijking $\varphi(t,y,y',y'',\ldots)=0$ die voor zekere functie $\varphi$ in meerdere variabelen geldt op een zeker tijdsinterval.

De orde van deze GDV is de orde van de hoogste afgeleide van $y$ die in $\varphi$ voorkomt.
Als de functie $\varphi$ een veeltermfunctie in elk van de afgeleiden is, dan is de graad van deze GDV gelijk aan de graad van de term met de hoogste afgeleide.

Als er geen afgeleiden in de vergelijking voorkomen, dan is de orde gelijk aan nul.

I.p.v een GDV van orde 1 spreken we ook van een eerste-orde differentiaalvergelijking; meer algemeen noemen we een GDV van orde $n$ ook wel een $n$ -de orde differentiaalvergelijking.

Bij het bepalen van de graad van een GDV $n$ -de orde differentiaalvergelijking eisen we dat $\varphi(t,y,y',y'',\ldots, y^{(n)})$ een veelterm is in $y'$ en hogere afgeleiden, maar niet dat deze functie een veelterm in $t$ of $y$ is.

De differentiaalvergelijking $y''+\omega^2\cdot y=0$ die trouwens als algemene oplossing $y(t)=C_1\sin(\omega\cdot t)+C_2\cos(\omega\cdot t)$ met constanten $C_1$ en $C_2$ heeft, is een differentiaalvergelijking van orde twee omdat de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking $y''$ is. De graad van deze GDV is gelijk aan één omdat de term met de hoogste afgeleide gelijk is aan $y''$ .

Wat is de orde en de graad van onderstaande differentiaalvergelijking? $\frac{\dd^3y}{\dd t^3}\Bigl/\frac{\dd y}{\dd t}=\left(\frac{\dd ^2y}{\dd t^2}\right)^{\!2}$

De orde van de GDV is $3$ .
De graad van de GDV is $1$ .

Immers, de hoogste afgeleide in de GDV is $\frac{\dd^3y}{\dd t^3}$ en dit betekent dat de orde van de GDV gelijk is aan $3$ .
Herschrijf de GDV als veeltermvergelijking: dit is $\frac{\dd^3y}{\dd t^3}-\frac{\dd y}{\dd t}\cdot \left(\frac{\dd^2y}{\dd t^2}\right)^{\!2}=0$ De term in de GDV met de hoogste graad als veeltermvergelijking in $\frac{\dd^3y}{\dd t^3}$ is hierin $\frac{\dd^3y}{\dd t^3}$ en dit betekent dat de graad van de GDV gelijk is aan $1$ .

Nieuw voorbeeld

De differentiaalvergelijking $\varphi(t,y,y',y'',\ldots)=0$ heet autonoom of tijdsinvariant als de functie $\varphi$ niet van de onafhankelijke variabele $t$ afhangt. De differentiaalvergelijking heet lineair als de functie $\varphi$ leidt tot een uitdrukking waarin $y$ en zijn afgeleiden alleen los voorkomen en niet als macht met exponent ongelijk 1 of als product van elkaar. Anders noemt men de GDV niet-lineair.

De eerste-orde GDV $\frac{\dd y}{\dd t}=t\,y$ kan geschreven worden als $\varphi(t,y,y')=0$ met $\varphi(u,v,w)=u\cdot v-w$ Het is een differentiaalvergelijking van orde 1 en graad 1. We noemen het ook een eerste-orde GDV van graad 1.

De GDVs $y'-y^2=0 \text{ en } y'-y-1=0$ zijn voorbeelden van autonome eerste-orde differentiaalvergelijkingen van graad 1.

De GDV $(y'')^3-y^2=0$ is een voorbeeld van een autonome tweede-orde differentiaalvergelijking van graad 3.

De GDV $(y'')^3-y\cdot y'=0$ is een voorbeeld van een niet-lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking van graad 3.

Een autonome differentiaalvergelijking van orde $n$ kan geschreven worden in de vorm $y^{(n)}=\Phi\bigl(y,y',y'',\ldots, y^{(n-1)}\bigr)$ voor zekere functie $\Phi$ .

Een lineaire GDV van orde $n$ kan geschreven worden in de vorm $a_n(t)\cdot y^{(n)}+\cdots + a_2(t)\cdot y'' +a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y + b(t)=0$