Soorten van dynamische systemen van eerste orde

Gewone differentiaalvergelijkingen: Inleiding

Soorten van dynamische systemen van eerste orde

Homogene en inhomogene lineaire GDV Laten we ons eerst eens ons beperken tot dynamische systemen van eerste orde die geschreven kunnen worden in de volgende expliciete vorm: \[\frac{\dd y}{\dd t} = \varphi(t,y)\] Deze differentiaalvergelijking is dus lineair als \[\varphi(t,y)=a(t)\cdot y(t)+b(t)\] waarbij de functies \(a(t)\) en \(b(t)\) de coëfficiënten van de lineaire differentiaalvergelijking zijn en \(b\) de inhomogene term genoemd wordt. Merk op dat de coëfficiënten van de lineaire differentiaalvergelijking niet noodzakelijkerwijs constant hoeven te zijn, maar van de tijd \(t\) kunnen afhangen.
Als \(b(t)=0\) voor alle \(t\) dan heet de lineaire differentiaalvergelijking homogeen, als dat niet het geval dan spreekt men van een inhomogene differentiaalvergelijking.

Bij een lineaire GDV van orde groter dan 1 kunnen we ook het onderscheid maken tussen een homogene en inhomogene GDV.

Een lineaire homogene GDV van orde \(n\) is te schrijven als \[a_n(t)\cdot \frac{\dd^n y}{\dd t^n}+a_{n-1}(t)\cdot \frac{\dd^{n-1} y}{\dd t^{n-1}}+\cdots +a_2(t)\cdot \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}+a_1(t)\cdot \frac{\dd y}{\dd t}+a_0(t)\cdot y(t)=0\]
Een lineaire inhomogene GDV van orde \(n\) is te schrijven als \[a_n(t)\cdot \frac{\dd^n y}{\dd t^n}+a_{n-1}(t)\cdot \frac{\dd^{n-1} y}{\dd t^{n-1}}+\cdots +a_2(t)\cdot \frac{\dd^2 y}{\dd t^2}+a_1(t)\cdot \frac{\dd y}{\dd t}+a_0(t)\cdot y(t)=b(t)\] voor zekere functie \(b(t)\) ongelijk aan nul.

Kortom, zet alles in een differentiaalvergelijking waarin \(y\) en zijn afgeleiden voor komen aan de linkerkant van een vergelijking en de rest aan de rechterkant van het gelijkteken. kijk dan of het restant aan de rechterkant gelijk is aan 0 of niet.

Separeerbare eerste-orde GDV Men spreekt van een separeerbare eerste-orde GDV als deze geschreven kan worden in de vorm \[\frac{\dd y}{\dd t} = \frac{f(t)}{g(y)}\] voor zekere functies \(f\) en \(g\).
Als bovendien \(f(t)=1\) voor alle \(t\) dan is er sprake van een autonome eerste-orde GDV.

Onderstaande tabel geeft voorbeelden van de onderscheiden typen van eerste-orde dynamische systemen.

Voorbeelden \[\begin{array}{|l|l|} \hline \text{niet-lineair} & t\,y'=y\, \ln(t\,y)-y\phantom{x}\\ \hline \text{niet-lineair, autonoom} & y'=\dfrac{-y}{\sqrt{1-y^2}} \\ \hline \text{niet-lineair, separeerbaar} & y'=\dfrac{t^2}{y} \\ \hline \text{lineair, inhomogeen} & y'=t\,y+\dfrac{1}{t^2} \\ \hline \text{lineair, homogeen} & y'=t\,y \\ \hline \end{array}\]

Voor eenvoudige typen van GDVs is de kans groter dat men deze exact, d.w.z. in formulevorm, kan oplossen. Vandaar de speciale aandacht voor deze GDVs. Voor meer ingewikkelde GDVs is het heel normaal dat een geen exacte oplossing voor te vinden is. In dat geval worden numerieke methoden (bijvoorbeeld de Euler methode of Runge-Kutta methoden) gebruikt om numeriek oplossingen te vinden en wordt bifurcatieanalyse gepleegd om te onderzoeken hoe het gedrag van oplossingen afhangt van waarden van parameters in de differentiaalvergelijking.