Extra voorwaarden bij een differentiaalvergelijking

Gewone differentiaalvergelijkingen: Inleiding

Extra voorwaarden bij een differentiaalvergelijking

Een functie $y(t)$ die aan een GDV voldoet is een oplossing van de differentiaalvergelijking. De GDV alleen legt de oplossing niet helemaal vast: hiervoor zijn extra voorwaarden nodig. Wanneer deze voorwaarden allemaal betrekking hebben op de toestand op een zeker tijdstip $t$ (meestal neemt men $t=0$ ) dan spreekt men over een beginwaardeprobleem. Hebben alle extra voorwaarden betrekking op de rand van een gebied (bijvoorbeeld de grenzen van een tijdsinterval), dan spreekt men van een randwaardeprobleem.

Los het volgende beginwaardeprobleem op: $\frac{\dd y}{\dd t}=y,\quad y(0)=-4$

Het betreft de differentiaalvergelijking van exponentiële groei met groeisnelheidsconstante $1$ .
De algemene oplossing is dus gelijk aan $y(t)=c\cdot e^t$ voor zekere constante $c$ . Invullen van voorwaarde $y(0)=-4$ geeft de vergelijking $c\cdot e^{ 0} = -4$ Oftewel: $c=-4$ De oplossing van het beginwaardeprobleem is $y(t)=-4\,e^{t}$

Nieuw voorbeeld