Lineaire GDVs van grote orde

Gewone differentiaalvergelijkingen: Gebruik van een integrerende factor

Lineaire GDVs van grote orde

Lineaire structuur van lineaire GDVs in 'gewone' taal

Een lineaire differentiaalvergelijking van order $n$ ziet er als volgt uit:

$\begin{split} &\textrm{(enige functie van t)} \cdot y^{(n)} + \cdots + \textrm{(een andere functie van t)} \cdot y '' + \\ &\textrm{(weer een andere functie van t)} \cdot y'+ \textrm{(wederom een andere functie van t)} \cdot y + \\ &\textrm{(en nog een andere functie van t)} = 0 \end{split}$ Deze vergelijking wordt homogeen genoemd als er geen term is die alleen afhangt van $t$ (en niet van $y$ of een van zijn afgeleiden).

Nu willen we de oplossingen vinden voor de inhomogene differentiaalvergelijking hierboven. Stel dat je (per ongeluk of door slim te raden) al één oplossing $y_{\text{part}}$ (de particuliere of specifieke oplossing van de GDV) gevonden hebben. Stel dat je bovendien de homogene vergelijking hebt opgelost (dus je schrapte de term die enkel van $t$ afhing en loste die vergelijking op); noem deze oplossing $u$ .

Dan is ELKE oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking te schrijven als $y_{\text{part}}+u$ . Dit helpt enorm! Het betekent dat je de volledige oplossing van een inhomogene GDV kent wanneer je één specifieke oplossing weet en de algemene oplossing van de bijpassende homogene differentiaalvergelijking kent

Voor de homogene differentiaalvergelijking, met geen term die enkel van $t$ afhangt, weten we dat

de constante functie $u(t)=0$ is een oplossing;
als we twee oplossingen van de homogene GDV kennen, zeg $u(t)$ en $v(t)$ , dan is iedere lineaire combinatie van deze twee oplossingen zelf ook een oplossing van de GDV. Dus geldt voor getallen $\alpha$ $\beta$ en oplossingen $u$ en $v$ van de homogene GDV dat $\alpha\cdot u+\beta\cdot v$ ook een oplossing is.

Lineaire structuur van lineaire GDVs in wiskundige taal

Stel dat $a_0(t), a_1(t),\ldots ,a_n(t)$ en $b(t)$ continue functies zijn $a_n(t)\ne0$ zodanig dat

$a_n(t)\cdot y^{(n)}+\cdots+a_2(t)\cdot y''+a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y +b(t)=0$ een lineaire differentiaalvergelijking van orde $n$ is. Deze GDV is homogeen dan en slechts dan als $b(t)=0\tiny.$

Stel dat $y_{\text{part}}$ een oplossing is van de inhomogene differentiaalvergelijking. Dan is elke andere oplossing van de vorm $y_{\text{part}}+u$ , waarbij $u$ een oplossing is van de bijpassende homogene GDV, d.w.z. de vergelijking met $b(t)$ vervangen door $0$ .

We noemen $y_{\text{part}}$ een particuliere oplossing van de GDV.

Als $b(t)=0$ , dan is de verzameling oplossingen lineair in de volgende zin:

de constante functie $u(t)=0$ is een oplossing;
als $\alpha$ en $\beta$ reële getallen zijn en als $u$ en $v$ oplossingen van de bijpassende homogene GDV zijn, dan is $\alpha\cdot u+\beta\cdot v$ ook een oplossing.

We zetten de belangrijkste stappen in het bewijs op een rijtje voor het geval $n=2$ . Het algemene geval gaat niet anders, maar levert meer schrijfwerk op. De lineariteit is een geval van de volgende berekening van de linkerkant van bovenstaande differentiaalvergelijking voor $y=\alpha \cdot u+\beta\cdot v$ met reële getallen $\alpha$ en $\beta$ en voor twee functies $u$ en $v$ :

$\begin{array}{rcl} {\small \phantom{xx}}&&a_2(t)\cdot y''+a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y \\ &&= a_2(t)\cdot \left(\alpha \cdot u''+\beta\cdot v''\right)\\ &&\phantom{xx}+a_1(t)\cdot\left(\alpha \cdot u'+\beta\cdot v'\right)+a_0(t)\cdot \left(\alpha \cdot u+\beta\cdot v\right) +b(t)\\ &&= a_2(t)\cdot \alpha \cdot u''+a_2(t)\cdot \beta\cdot v''+a_1(t)\cdot\alpha \cdot u'+a_1(t)\cdot\beta\cdot v' \\ &&\phantom{xx}+a_0(t)\cdot \alpha \cdot u+a_0(t)\cdot \beta\cdot v +b(t)\\ &&= a_2(t)\cdot \alpha \cdot u''+a_1(t)\cdot\alpha \cdot u'+a_0(t)\cdot \alpha \cdot u\\ &&\phantom{xx}+a_2(t)\cdot \beta\cdot v''+a_1(t)\cdot\beta\cdot v'+a_0(t)\cdot \beta\cdot v +b(t)\\ &&= \alpha\cdot\left(a_2(t) \cdot u''+a_1(t)\cdot u'+a_0(t) \cdot u\right)\\ &&\phantom{xx}+\beta\cdot\left(a_2(t)\cdot v''+a_1(t)\cdot v'+a_0(t)\cdot v \right)+b(t) \end{array}$

Als $\alpha=\beta=1$ en $v=y_{\text{part}}$ , dan is de onderste rgel gelijk aan $0$ . Dit toont aan dat $y= y_{\text{part}}+u$ een oplossing van de GDV is dan en slachts dan als $u$ een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is.

Als $b(t)=0$ en als $u$ en $v$ beiden oplossingen van de homogene differentiaalvergelijking zijn, dan zijn de onderste twee regels gelijk aan $0$ en geldt dus dat $y=\alpha \cdot u+\beta\cdot v$ een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is.