Exponentiële groei Bekijk de GDV van exponentiële groei

$$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y$$ met relatieve groeisnelheidsconstante $r$. Als $r\lt 0$ is het evenwicht $y=0$ aantrekkend en als $r\gt 0$ is het evenwicht $y=0$ afstotend. De parameter komt ook tevoorschijn als je de afgeleide van het rechterlid naar $y$ in het evenwicht $y=0$ berekend: $$\frac{\dd(r\cdot y)}{\dd y}(0)=r\text.$$ Het gedrag rondom het evenwicht $y=0$ hangt af van de waarde van $r$ en de waarde $r=0$ markeert een overgang van een aantrekkend naar een afstotend evenwicht en vice versa. Deze verandering van gedrag van rondom een evenwicht heet een bifurcatie en de parameterwaarde waarbij dit gebeurt, in dit geval $r=0$, noemen we een bifurcatiewaarde. We gaan dit nog diepgaander bestuderen.

Logistische groei Bekijk de GDV van logistische groei

$$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right).$$ Evenwichten zijn $y=0$ en $y=a$. Het evenwicht $y=0$ is aantrekkend als $r<0$ en afstotend als $r>0$. Dit kunnen we als volgt inzien. Beschouw eerst een startwaarde $y_0$ die erg dicht bij 0 ligt en in absolute waarde in ieder geval veel dichter bij 0 dan bij 1. Voor zo'n getal geldt dat het kwadraat $y_0^2$ nog veel kleiner is dan $|y_0|$. Ter illustratie: als $a=0.001$, dan geldt $a^2=0.00001.$ Voor punten $(t,y(t))$ in de buurt van $(0,y_0)$ geldt dan ook dat $y(t)^2\lt |y(t)|$. Kortom, het beginwaardeprobleem opgeschreven als $$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y-\frac{r}{a}\cdot y^2,\quad y(0)=y_0,$$ heeft een tweede term in het rechterlid die voor $y_0$ dicht bij 0 verwaarloosd kan worden voor $t$ in de buurt van 0 in verhouding met de eerste term. Met andere woorden, in de buurt van de evenwichtsoplossing zal de oplossing van het beginwaardeprobleem hetzelfde gedrag vertonen als de oplossing van het beginwaardeprobleem $$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y,\quad y(0)=y_0$$ en we weten al dat dit van het teken van $r$ afhangt. Deze aanpak noemt men ook wel de methode van het lokaal lineariseren van het probleem.

De manier waarop we dit in het vervolg gaan aanpakken is als volgt. De afgeleide van $\varphi(y)=r\cdot y\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)$ naar $y$ kan met behulp van de rekenregels voor differentiëren berekend worden:

$$\frac{\dd \varphi(y)}{\dd y}=\frac{\dd\!\left(r\cdot y \cdot \left(1-\frac{y}{a}\right)\right)}{\dd t}= r\cdot \left(1-\frac{y}{a}\right) - r\cdot \frac{y}{a}=r\cdot \left(1-\frac{2y}{a}\right)\text.$$ Invullen van de evenwichtswaarde $y=0$ levert de parameter $r$ op.

Zo kun je ook het evenwicht $y=a$ bestuderen. Invullen van de evenwichtswaarde $y=a$ in bovenstaande afgeleide levert $-r$ op. Ook nu is hierop de stabiliteit van $y=a$ is gebaseerd: het evenwicht is aantrekkend is als $-r\lt 0$ en afstotend als $-r\gt 0$. Met andere woorden: het evenwicht $y=a$ is aantrekkend als $r>0$ en afstotend als $r<0$.

Opnieuw is $r=0$ een bifurcatiewaarde. In vakjargon is dit een transkritische bifurcatie: voor alle andere waarden zijn er een aantrekkend en afstotend evenwicht, maar bij het passeren van de bifurcatiewaarde wisselt de aard van de evenwichten om.