b = -1 We beginnen met \[\frac{\dd y}{\dd t}=-y-y^3\] Dit dynamisch systeem is ook te schrijven als \[\frac{\dd y}{\dd t}=-y\,(y^2+1)\] Hieraan zie je gelijk dat er maar één evenwicht is, namelijk \(y=0\) De stabiliteit van dit evenwicht kun je door lokale linearisatie bepalen. Als \[\varphi(y) = -y-y^3\] dan \[\frac{\dd \varphi}{\dd y}=-1-3y^2\] en dus \[\frac{\dd \varphi}{\dd y}(0)=-1\] Hieruit volgt dat \(y=0\) een aantrekkend evenwicht is. De toestandslijn is als volgt:

b = 0 Als \[\frac{\dd y}{\dd t}=-y^3\] dan is er nog steeds maar één evenwicht, namelijk \(y=0\). Omdat \(\varphi(y)>0 \) als \(y<0\) en \(\varphi(y)<0\) als \(y>0\), hebben we een aantrekkend evenwicht. De toestandslijn is gelijk aan de vorige lijn:

b = 1 We eindigen met \[\frac{\dd y}{\dd t}=y-y^3\] Dit dynamisch systeem is ook te schrijven als \[\frac{\dd y}{\dd t}=y\,(1-y)\,(1+y)\] Hieraan zie je gelijk dat er drie evenwichten zijn: \[y=-1,\quad y=0\quad\text{en}\quad y=1\] De stabiliteit van deze evenwichten kunnen we door lokale linearisatie bepalen. Als \[\varphi(y) = y-y^3\] dan \[\frac{\dd \varphi}{\dd y}=1-3y^2\] en dus \[\frac{\dd \varphi}{\dd y}(-1)=-2\qquad\frac{\dd \varphi}{\dd y}(0)=1\qquad\text{en}\qquad \frac{\dd \varphi}{\dd y}(1)=-2 \] Hieruit volgt dat \(y=-1\) en \(y=1\) aantrekkende evenwichten zijn en \(y=0\) een afstotend evenwicht is. De toestandslijn is als volgt:

Superkritische hooivorkbifurcatie We hebben in de vorige drie voorbeelden gezien dat het aantal evenwichten en hun aard bij de differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t}=b\cdot y-y^3\] afhangt van de waarden van \(b\). In het algemeen geldt:

• Als \(b\le 0\) dan is er één evenwicht, namelijk \(y=0\), en dat is aantrekkend;
• Als \(b>0\) dan zijn er drie evenwichten waarvan er één, \(y=0\), afstotend is en de andere twee evenwichten \(y=-\sqrt{b}\) en \(y=\sqrt{b}\) aantrekkend zijn.

We kunnen drie typen toestandslijnen onderscheiden:

Het aantal evenwichten verandert van negatieve naar positieve parameterwaarde. Onderstaande animatie toont de verandering in de toestandslijn wanneer de bifurcatieparameter van negatieve naar positieve waarden gaat.

Het bifurcatiediagram ziet er als volgt uit:

Dit is het voorbeeld van een superkritische hooivorkbifurcatie.

In onderstaande interactieve versie kun je de parameter \(b\) variëren door de bijpassende groene driehoek over de horizontale as te verslepen. Zo kun je nagaan hoe het vectorveld en het gedrag van oplossingskrommen afhangen van de bifurcatieparameter \(b\). Door de afgeleide \(y'\) als functie van \(y\) te tonen kun je het teken van een evenwichtswaarde aflezen en zo de locatie van een evenwicht t.o.v. de oorsprong bepalen.

Subkritische hooivork bifurcatie

Een subkritische hooivorkbifurcatie bestaat ook en wel voor de differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t}=ry+y^3\] Het bifurcatiediagram ziet er dan als volgt uit.

Subkritische hooivorkbifurcatie Een subkritische hooivorkbifurcatie, waarin instabiele evenwichten verdwijnen als de parameter de bifurcatiewaarde passeert, bestaat ook; bijvoorbeeld,bij de differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t}=b\cdot y+y^3\] Voor deze GDV geldt:

• Als \(b>0\) dan zijn er drie evenwichten waarvan er één, \(y=0\), aantrekkend is en de andere twee evenwichten \(y=-\sqrt{|b|}\) en \(y=\sqrt{|b|}\) afstotend zijn.
• Als \(b\ge 0\) dan is er één evenwicht, namelijk \(y=0\), en dat is afstotend.

We kunnen drie typen toestandslijnen onderscheiden:

Het aantal evenwichten verandert van negatieve naar positieve parameterwaarde. Onderstaande animatie toont de verandering in de toestandslijn wanneer de bifurcatieparameter van negatieve naar positieve waarden gaat.

Het bifurcatiediagram ziet er als volgt uit: