Bekijk de differentiaalvergelijking met een zekere bifurcatieparameter .
Onderzoek hoe het aantal evenwichten en hun aard afhangt van de parameterwaarde. Schets het bifurcatiediagram.
We definiëren Om de evenwichten van de differentiaalvergelijking te vinden moeten we de vergelijking oplossen. Dit is met de -formule te doen: waarbij er alleen reële oplossingen zijn als oftewel als .
Om de aard van de evenwichten te achterhalen gebruiken we lokale linearisatie. Omdat vinden we in de evenwichten de waarden . Hieruit volgt, onder de voorwaarde , dat er twee evenwichten zijn waarbij een aantrekkend evenwicht is en een afstotend evenwicht is. De toestandslijn ziet er onder deze voorwaarden als volgt uit:

Dit resultaat is in overeenstemming met het gegeven dat een dalparabool is en je via het tekenverloop van tot dezelfde conclusie komt. Als , dan hebben we alleen maar een semistabiel evenwicht en is de toestandslijn als volgt:

Als , dan zijn er geen evenwichten en is de toestandslijn gelijk aan

Er is hier sprake van een zadelknoopbifurcatie en het bifurcatiediagram ziet er als volgt uit:

Bekijk de differentiaalvergelijking met een zekere bifurcatieparameter .
Onderzoek hoe het aantal evenwichten en hun aard afhangt van de parameterwaarde. Schets het bifurcatiediagram of construeer het op de computer met wiskundige software.
We definiëren Om de evenwichten van de differentiaalvergelijking te vinden moeten we de vergelijking oplossen. Dit is met de -formule te doen: waarbij er alleen reële oplossingen zijn als oftewel als en het geval apart behandeld wordt met als evenwicht .
Om de aard van de evenwichten te achterhalen gebruiken we lokale linearisatie. Omdat vinden we in de evenwichten de waarden . Hieruit volgt dat er twee evenwichten zijn waarbij een aantrekkend evenwicht is en een afstotend evenwicht is. De toestandslijn, waarbij we de ligging van de evenwichten aanduiden, ziet er onder voorwaarde als volgt uit:

Als dan ziet de toestandslijn er als volgt uit:

Dit resultaat is in overeenstemming met het gegeven dat een dalparabool is als en een bergparabool is als , en je via het tekenverloop van tot dezelfde conclusie komt.
Als hebben we één evenwicht, namelijk , en dat is afstotend omdat dan . De toestandslijn is dan

Als , dan is te schrijven als en hebben we alleen maar een semistabiel evenwicht, namelijk , en is de toestandslijn als volgt:

Als , dan zijn er geen evenwichten en is de toestandslijn gelijk aan

Bij gaat het om een zadelknoopbifurcatie (het aantal evenwichten wijzigt van 2 naar 0).
Om het bifurcatiediagram te tekenen moet je precies uitzoeken waar de nulpunten van zich bij verschillende waarden van de parameter zich bevinden. Een op de computer gegenereerd bifurcatiediagram ziet er als volgt uit:

Bekijk de differentiaalvergelijking met een zekere bifurcatieparameter .
Onderzoek hoe het aantal evenwichten en hun aard afhangt van de parameterwaarde. Schets het bifurcatiediagram.
We definiëren Om de evenwichten van de differentiaalvergelijking te vinden moeten we de vergelijking oplossen. Dit gaat het gemakkelijkst als je herschrijft als . Dan zie je dat een evenwicht is en dat de andere evenwichten van de parameter afhangen omdat daarvoor moet gelden dat . Als , zijn er geen verdere evenwichten. Ook als dan zijn er ook geen verdere evenwichten omdat dan een dalparabool is met minimumwaarde gelijk aan . Als dan is een bergparabool met nulpunten .
Om de aard van de evenwichten te achterhalen gebruiken we lokale linearisatie. Omdat hebben we en is het evenwicht afstotend. Ook hebben we en zijn de twee evenwichten dus aantrekkend.
Uit het bovenstaande volgt dat we maar twee soorten toestandslijnen hoeven te onderscheiden:
Als dan

Als dan

en de aantrekkende evenwichten verschuiven naar buiten toe bij opklimmende waarden van en liggen dichter bij elkaar voor naarmate meer negatief is.
Het bifurcatiediagram ziet er als volgt uit:

De bifurcatie is een superkritische bifurcatie want als de bifurcatieparameter van positieve naar negatieve waarden wijzigt neemt het aantal stabiele evenwichten toe.
Bekijk de differentiaalvergelijking met een zekere bifurcatieparameter .
Onderzoek hoe het aantal evenwichten en hun aard afhangt van de parameterwaarde. Schets het bifurcatiediagram.
We definiëren Om de evenwichten van de differentiaalvergelijking te vinden moeten we de vergelijking oplossen. Aan de vorm van de functie lezen we af dat het hier om een bergparabool gaat die verschoven is in verticale richting met . Als we de haakjes in de veelterm wegwerken krijgen we en de -formule geeft als nulpunten mits . Er zijn dus alleen evenwichten als .
In het geval geldt dat zodat uit het tekenverloop van volgt dat we nu te maken hebben met een semistabiel evenwicht en toestandslijn van de vorm

Als dan zijn er twee evenwichten en omdat een bergparabool is volgt uit het tekenverloop van dat een afstotend evenwicht is, een aantrekkend evenwicht is, en dat de toestandslijn er uit ziet als

Het bifurcatiediagram ziet er als volgt uit:

Het betreft hier een zadelknoopbifurcatie.
Bekijk de differentiaalvergelijking met een zekere bifurcatieparameter .
Onderzoek hoe het aantal evenwichten en hun aard afhangt van de parameterwaarde. Schets het bifurcatiediagram.
We definiëren Om de evenwichten van de differentiaalvergelijking te vinden moeten we de vergelijking oplossen.
Als dan en is er één evenwicht . In de buurt hiervan is het tekenverloop van gelijk aan het tekenverloop van en daarom is een aantrekkend evenwicht.
Als dan Er zijn dus twee evenwichten. Om de aard van de evenwichten te achterhalen gebruiken we lokale linearisatie. We berekenen eerst de volgende afgeleide: Omdat volgt nu dat het evenwicht aantrekkend is als , afstotend is als en semistabiel is als . Omdat de laatste uitdrukking een bergparabool in is met nulpunten bij en , volgt dat het evenwicht afstotend is als , semistabiel is , en verder aantrekkend is.
We vatten het stabiliteitsonderzoek samen:
Als dan zijn er aantrekkende evenwichten en , en deze liggen verder van elkaar af naarmate dichter bij is.
Als dan is er één evenwicht en dat is aantrekkend.
Als dan is een aantrekkend evenwicht en is een afstotend evenwicht.
Als dan is er één evenwicht en dat is semistabiel.
Als dan is een afstotend evenwicht en is een aantrekkend evenwicht.
De toestandslijnen in bovenstaande gevallen zijn achtereenvolgens

We hebben de toestandslijnen in bovenstaande figuur dusdanig verschoven dat de positie van de evenwichten ten opzichte van elkaar beter te zien is.
Het bifurcatiediagram kan geschetst worden of m.b.v. wiskundige software getekend worden. Het ziet er als volgt uit:

De horizontale blauwe lijn geeft aan. De bifurcatie is een transkritische bifurcatie omdat de stabiliteit van evenwichten op dit punt verwisselt.