We bekijken de differentiaalvergelijking

$$\frac{\dd y}{\dd t}= 3y-y^3+b$$ Als $b=0$, dan vinden we de evenwichten door de nulpunten van de derdegraadsveelterm $-y^3+3y$ op te sporen. Dit zijn $y=0$ en $y=\pm\sqrt{3}$. Door lokale linearisatie is na te gaan (doe dat zelf!) dat $y=0$ een afstotend evenwicht is, en dat $y=-\sqrt{3}$ en $y=\sqrt{y}$ aantrekkende evenwichten zijn. Vanwege de laatste eigenschap noemen we de differentiaalvergelijking bistabiel.

De parameter $b$ verschuift de derdegraads veelterm $-y^3+3y$ naar boven of naar beneden. Bij deze translatie blijven er drie nulpunten behouden zolang $-2<b<2$.

Als $b=2$, dan

$$\frac{\dd y}{\dd t}= -(y-2)(y+1)^2$$ en zijn er twee evenwichten: een semistabiel evenwicht $y=-1$ en een stabiel evenwicht $y=2$ (ga de aard van de evenwichten zelf na).

Als $b=-2$, dan

$$\frac{\dd y}{\dd t}= -(y-2)(y+1)^2$$ en zijn er twee evenwichten: een semistabiel evenwicht $y=1$ en een stabiel evenwicht $y=-2$ (ga de aard van de evenwichten zelf na).

Dit impliceert dat de twee bifurcaties $(-2,1)$ en $(2,-1)$ zadelknoopbifurcaties zijn.

Bij een grotere translatie $|b|>2$ blijft er nog maar één nulpunt voor de veelterm $3y-y^3+b$ over en dit levert een aantrekkend evenwicht op.

$\phantom{xxx}$

We bekijken nu wat er gebeurt als we starten met $b=0$ in het evenwicht $y=-\sqrt{3}$ en vervolgens de parameterwaarde $b$ een beetje ophogen en wachten tot een nieuw evenwicht zich heeft ingesteld. Bij oplopende $b$ blijft $(b,y)$ eerst in de buurt van de onderste tak van de stabiele evenwichten; de oplossing gaat na verloop van tijd naar een nieuw evenwicht in de buurt langs de tak in het bifurcatiediagram waar we op zitten. Dit gaat zo door totdat we bij $b=2$ op een zadelknoopbifurcatie uitkomen; zodra $b$ iets groter dan $2$ wordt, dan loopt de oplossing naar het stabiele evenwicht in de bovenste tak van de stabiele evenwichten. Wanneer we nu de parameterwaarde weer laten zakken tot $b=0$ blijft $(b,y)$ in de buurt van de bovenste tak van de stabiele evenwichten en komen we bij $b=0$ uit op het evenwicht $y=\sqrt{3}$. De parameterwaarde $b$ is op zijn oorspronkelijke waarde teruggekomen, maar het evenwicht $y$ niet! Dit fenomeen van gebrek aan omkeerbaarheid heet hysterese. Het is in onderstaande figuur gevisualiseerd.