Fourierreeksen: Inleiding
De warmtewet van Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) was een veelzijdig man, maar zijn meest memorabele werk ligt echter op het terrein van wiskunde en natuurkunde. Op natuurkundig gebied deed hij vooral onderzoek naar warmte. Hij ontdekte het broeikaseffect, bestudeerde thermometers en systemen voor centrale verwarming. Naar hem is de wet van warmtegeleiding vernoemd. In één dimensie luidt deze wet: \[\frac{Q}{A}=-k\,\frac{\dd T}{\dd x}\] waarbij \(T\) en \(Q\) respectievelijk de temperatuur en de warmtestroom op een bepaalde positie \(x\) zijn, \(k\) de warmtegeleidingscoëfficiënt is, en \(A\) de oppervlakte van de dwarsdoorsnede op plek \(x\) is waardoor warmte stroomt. We hebben de vergelijking met opzet zo opgeschreven omdat het linkerlid dan de warmtestroomdichtheid \(q\) is, ook wel warmteflux genoemd (in stromingsleer is de flux een wetenschappelijke benaming voor de doorstroom van een grootheid per oppervlakte van de dwarsdoorsnede waardoor stroming plaats vindt. De rechterkant van de vergelijking is een scalair veelvoud van de negatieve temperatuurgradiënt. Warmte stroomt van een hoge naar een lage temperatuur, dus bij een negatieve temperatuurgradiënt ontstaat een positieve warmtestroomdichtheid in de positieve \(x\)-richting door het minteken op te nemen in de formule.
Met deze wet is ook een partiële differentiaalvergelijking, de zogenaamde warmtevergelijking, af te leiden. In Fourier's tijd bestond er geen algemene methode om deze vergelijking op te lossen. Maar in zijn hoofdwerk Théorie analytique de la chaleur heeft Fourier het lumineuze idee uitgewerkt om oplossingen te beschrijven via oneindige sommen van sinussen en cosinussen. Deze aanpak bracht een revolutie teweeg in de wiskunde van de negentiende en twintigste eeuw en haar toepassingen. Fourieranalyse is een van de basistechnieken in de theorie van signalen en systemen, met toepassingen in bijvoorbeeld medische beeldverwerking, geworden, en iedereen die een smart phone bezit maakt indirect gebruik van resultaten waarvoor Fourier de grondslag heeft gelegd.
In dit hoofdstuk werpen we een korte blik op de theorie van Fourierreeksen en Fourierintegralen.