Fourierreeksen: Inleiding
Wat is een Fourierreeks?
Voor Fourier had Leonhard Euler al de volgende formule opgeschreven: \[\tfrac{1}{2}x=\sin x - \tfrac{1}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{3}\sin(3x)-\tfrac{1}{4}\sin(4x)+\cdots\] Maar hij had niet vermeld hoe hij hier aan gekomen was en ook niet opgemerkt dat de reeks alleen geldt als \(-\pi<x<\pi\). In onderstaande figuur staan de grafieken van linker- en rechterlid als alleen de eerste vier termen of alleen de eerste zestien termen gebruikt worden. Ook is te zien dat de benadering van de reële functie \(x \mapsto \tfrac{1}{2}x\) buiten het interval \((-\pi,\pi)\) niet goed is: de benadering werkt alleen goed bij periodieke voortzetting van de functie \(x \mapsto \tfrac{1}{2}x\) op het interval \((-\pi,\pi)\) tot een functie gedefinieerd voor alle reële getallen, waarbij je wel functiewaarden in gehele veelvouden van \(\pi\) gelijk moet stellen aan nul.
Fourierreeks t/m vierde term (links) en Fourierreeks t/m de zestiende term (rechts).
Je kunt ook onderstaande interactieve versie gebruiken om een indruk te krijgen van de benadering van de functie met een Fourierreeks.
Omdat alle termen van de reeks periodiek zijn met een periode \(2\pi\), zijn de partiële sommen \( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx)\) dat ook. Op het interval \((-\pi,\pi)\) lijken de partiële sommen bij toenemend aantal termen steeds beter de functie \(x\mapsto \tfrac{1}{2}x\) te benaderen. Hoewel? Wat zijn die rare bergpuntjes vlak bij de randen? De benaderingen lijken door te schieten op de randen. Pas aan het einde van de negentiende eeuw is dit 'doorschietverschijnsel' (ook wel Gibb's fenomeen genoemd) onder de aandacht gekomen en verklaard, en is bewezen dat het alleen optreedt bij een Fourierreeks die een periodieke functie representeert met sprongdiscontinuïteiten. Misschien maar goed dat Fourier dit verschijnsel niet opgemerkt heeft want het had hem kunnen weerhouden van de hypothese dat elke periodieke functie benaderd kan worden met een oneindige som van sinussen en cosinussen. Zo'n oneindige som heet tegenwoordig een Fourierreeks. Als er alleen maar sinustermen in voor komen, noemen we het een Fourier sinusreeks. Komen er naast een constante alleen cosinustermen in voor, dan spreken we van een Fourier cosinusreeks.