Fourierreeksen: Inleiding
Berekenen van een Fourier sinusreeks
We hebben de volgende formule: \[\tfrac{1}{2} x=\sin(x) - \tfrac{1}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{3}\sin(3x)-\tfrac{1}{4}\sin(4x)+\cdots\] De formule beschrijft \(\tfrac{1}{2}x\) als oneindige som van sinustermen. Maar hoe kom je hieraan? Fourier zocht een systematische manier om ook andere functies in de vorm van een oneindige som van goniometrische functies te schrijven. Met andere woorden, hij ging er net als in het voorbeeld van uit dat een bepaalde functie \(f(x)\) te schrijven is als \[f(x)=b_1\sin(x) +b_2\sin(2x)+b_3\sin(3x)+b_4\sin(4x)+\cdots\] en probeerde dan de coëfficiënten \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) enzovoort te vinden. Een reeks als deze heet nu een Fourier sinusreeks en de coëfficiënten \(b_n\) worden Fourier sinuscoëfficiënten genoemd.
De Fourier sinuscoëfficiënt \(b_n\) is te beschouwen als het 'gehalte' van \(\sin(nx)\) in de functie \(f(x)\). Als \(f(x)\) bijvoorbeeld gelijk is aan \(4\sin(x)+ 3\sin(2x)\), dan is het gehalte van \(\sin(x)\) gelijk aan \(4\) en het gehalte van \(\sin(2x)\) gelijk aan \(3\). De frequentie-inhoud van een functie, dat wil zeggen de rij \(b_1,b_2, b_3,\ldots\), wordt vaak weergegeven met een staafdiagram, die het frequentie-amplitudespectrum genoemd wordt.
Hoe bepaal je nu, in het algemeen, het gehalte van \(\sin nx\) in de functie \(f(x)\) ? Je kunt proberen \(b_n\) zo te kiezen dat \(b_n\sin(nx)\) de functie \(f(x)\) zo goed mogelijk benadert. Dit leidt dan tot de volgende formule:
\[b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,\dd x\]
Als \(f(x)=\tfrac{1}{2}x\) krijgen we: \[b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
Immers, partieel integreren levert op: \[\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x}{2}\cdot \sin(nx)\,\dd x &= \Bigl[\frac{x\cos(nx)}{2n}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{2n}\,\dd x \\ \\ &= \frac{-\pi\cos(n\pi)}{n}+ \Bigl[\frac{\sin(nx)}{(2n)^2}\Bigr]_{-\pi}^{\pi}\\ \\ &= \frac{-\pi (-1)^{n}}{n}=\frac{\pi (-1)^{n+1}}{n}\end{aligned}\] Dus: \[ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x}{2}\cdot \sin(nx)\,\dd x= \frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
Enkele bekende formules Met bovenstaande Fourier sinusreeks krijg je bij invulling van \(x=\tfrac{1}{2}\!\pi\) de volgende alternerende harmonische reeks van Leibniz: \[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+ \frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\] Voor \(x=\tfrac{1}{4}\pi\) vind je een formule van Euler, namelijk: \[\pi=2\sqrt{2}\bigl( 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}-\frac{1}{15}+\cdots\bigr)\]