Fourierreeksen: Inleiding
Berekenen van een Fourier cosinusreeks
Behalve de Fourier sinusreeks bestaat er ook een reeksontwikkeling met alleen maar cosinustermen en een constante. Als voorbeeld bekijken we de periodieke voortzetting van de functie \[f(x)=\begin{cases} \pi+x & \text{als }-\pi\le x<0 \\ \pi-x & \text{als }0\le x<\pi\end{cases}\] De grafiek van deze functie lijkt op een zaagtand; vandaar dat we het de zaagtandfunctie noemen
\[a_n = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\dd x & \text{als }n>0 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\dd x & \text{als }n=0\end{cases} \]
We hebben ook nog een constante \(a_0\) nodig want anders hebben we een reeksontwikkeling waarvan de gemiddelde waarde op het interval \((-\pi,\pi)\) gelijk aan nul is. In het algemeen nemen we voor \(a_0\) de gemiddelde waarde van \(f(x)\) op op het interval \((-\pi,\pi)\). Dit gemiddelde bereken je met de volgende integraal: \[a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\dd x\]
Als \[f(x)=\begin{cases} \pi+x & \text{als }-\pi\le x<0 \\ \pi-x & \text{als }0\le x<\pi\end{cases}\] dan \[\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \cos(nx)\,\dd x \\ \\ &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} (\pi+x)\cos(nx)\,\dd x +\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cos(nx)\,\dd x \\ \\ &= -\frac{1}{\pi}\int_{\pi}^{0} (\pi-u)\cos(nu)\,du +\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cos(nx)\,\dd x\\ &\phantom{=}\blue{\text{ substitueer in eerste integraal }x=-u} \\ \\ &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} (\pi-x)\cos(nx)\,\dd x\\ \\ &= \frac{2}{\pi}\Bigl[\frac{(\pi-x)\sin(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} + \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,\dd x \\ \\ &= 0 +\frac{2}{\pi}\Bigl[\frac{-\cos(nx)}{n^2}\Bigr]_{0}^{\pi}\\ \\ &= \frac{2\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr)}{\pi n^2} \\ \\ & = \begin{cases} 0 & \text{als }n\text{ even is} \\ \\ \dfrac{4}{\pi n^2} & \text{als }n\text{ oneven is}\end{cases}\end{aligned}\] De Fourier sinusreeks wordt dan: \[f(x) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\left(\cos x + \frac{1}{9}\cos 3x + \frac{1}{25}\cos 5x + \frac{1}{49}\cos 7x + \cdots\right)\] In onderstaande figuur staan de grafieken van de zaagtandfunctie en de Fourier cosinusreeks met 2 respectievelijk 8 cosinustermen. De benaderingen zijn erg goed.
Het frequentie-amplitudespectrum wordt hieronder getoond: je ziet in één oogopslag dat de even Fourier cosinuscoëfficiënten nul zijn en dat de gehaltes bij toenemende \(n\) afnemen.
Je kunt ook onderstaande interactieve versie gebruiken om een indruk te krijgen van de benadering van de zaagtandfunctie met een Fourierreeks en het bijpassende frequentie-amplitudespectrum.
Enkele bekende formules Met bovenstaande Fourier cosinusreeks krijg je bij invulling van \(x=0\) de volgende gelijkheid: \[\pi=\frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\left(1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots\right)\] Anders opgeschreven, krijgen we de volgende formule van Fourier: \[\frac{\pi^2}{8} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots\] Hiermee kun je een nog beroemdere formule van Euler afleiden, namelijk: \[\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\] Het bewijs gaat als volgt: noem het rechterlid van de Euler-formule even \(S\), dan geldt: \[\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\right)=\frac{S}{4}\] Dus volgt uit de formule van Fourier: \[\frac{\pi^2}{8} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = S - \frac{S}{4} =\frac{3}{4}S \] Dus: \[S=\frac{\pi^2}{6}\]