Fourierreeksen: De Fourierreeks van een willekeurige functie
Het totaalconcept
Met de Fourier sinusreeks en de Fourier cosinusreeks is iedere periodieke voortzetting van een 'nette' functie op het interval \((-\pi,\pi)\) te benaderen. De gecombineerde Fourierreeks is dan \[\begin{aligned}f(x) &= a_0+a_1\cos(x)+b_1\sin(x)+ a_2\cos(2x)+b_2\sin(2x)+ a_3\cos(3x)+b_3\sin(3x)+\ldots\\ \\ &= a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx) +b_n\sin(n x)\bigr)\end{aligned}\] waarbij de Fouriercoëfficiënten berekend kunnen worden met de volgende formules \[\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\dd x \\ \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\dd x\qquad\text{als }n\ge 1\\ \\ b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\dd x \qquad\text{als }n\ge 1\end{aligned}\] De 'netheid' van de periodieke functie wordt vastgelegd door de zogenaamde Dirichlet condities waaraan voldaan moet worden. Deze condities zijn dat de de functie \(f\) continu differentieerbaar is (d.w.z. de afgeleide \(f'\) bestaat en is continu) met uitzondering van een eindig aantal punten en zowel de functie \(f\) als \(f'\) stuksgewijs gedefinieerd zijn op het interval en in sprongpunten de functiewaarden gelijk zijn aan de gemiddelde waarde van linker- en rechterlimiet van de functie. We zullen in het vervolg in voorbeelden altijd veronderstellen dat hieraan voldaan is.