Fourierreeksen: De Fourierreeks van een willekeurige functie
Het frequentie-amplitudespectrum
We bekijken de periodieke voortzetting van een 'nette' functie \(f(x)\) op het interval \((-\pi,\pi)\) en benaderen deze met de Fourierreeks: \[f(x) = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx) +b_n\sin(n x)\bigr)\] De Fouriercoëfficiënten \(a_n\) en \(b_n\) (met \(n\ge 1\)) beschrijven allebei een goniometrische bijdrage met dezelfde frequentie \(n\): Het enige verschil is dat \(a_n\) een cosinusbijdrage is, terwijl \(b_n\) een sinusbijdrage is. Deze cosinus is te beschouwen als een verschoven sinus: er geldt immers \(\sin(x)=\cos(x-\tfrac{1}{2}\pi)\). De totale bijdrage van de termen aan de frequentie is \(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\). Ook deze som is te schrijven als een verschoven sinus: bij gegeven \(a_n\) en \(b_n\) bestaan er getallen \(c_n\) en \(\phi_n\) zodanig dat \[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)=c_n\sin(nx+\varphi_n)\] De coëfficiënt heet de amplitude van de frequentie \(n\) in de functie \(f\). De verschuiving wordt gegeven door de fasehoek \(\varphi_n\). Voor de amplitude geldt: \[c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\] De rij \(c_1, c_2, c_3, \ldots\) wordt amplitudespectrum genoemd. De staafgrafiek van de functie \(n\mapsto c_n\) heet het frequentie-amplitudespectrum van de functie \(f\). In zo'n spectrum geven we dus altijd de coëfficiënten \(c_n\) weer; alleen in het geval van een Fourier sinusreeks (of Fourier cosinusreeks) geldt \(c_n=|b_n|\) (of \(c_n=|a_n|\)).