Fourierreeksen: De Fourierreeks van een willekeurige functie
Periodieke functies met willekeurige periode
Tot nu toe hadden onze periodieke functies steeds een periode van \(2\pi\), dat wil zeggen dat we alleen functies \(f(x)\) bekeken hebben met de eigenschap dat \(f(x+2\pi)=f(x)\) voor alle \(x\). We konden ons dan ook concentreren op één periode en kozen daarvoor steeds het interval \((-\pi,\pi)\).
Maar we hebben in het algemeen te maken met een willekeurige periode \(T\), dat wil zeggen met functies waarvoor geldt dat \(f(x+T)=f(x)\) voor alle \(x\). Het goede nieuws is dat we ook deze functies kunnen benaderen met sinussen en cosinussen. Dit gaat als volgt: we kunnen bij elke gegeven periodieke functie \(f(x)\) met periode \(T\) een nieuwe functie \(g(x)\) definiëren door \[g(x)=f\left(\frac{Tx}{2\pi}\right)\] Dan geldt: \[g(x+2\pi) = f\left(\frac{T(x+2\pi)}{2\pi}\right) = f\left(\frac{Tx}{2\pi}+T\right)= f\left(\frac{Tx}{2\pi}\right)=g(x)\] De functie \(g(x)\) is periodiek met periode \(2\pi\) en we weten al hoe we zo'n functie met een Fourierreeks kunnen benaderen (mits aan de Dirichlet condities voldaan is, dat wil zeggen de functie \(f\) 'net' is): \[g(x) = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx) +b_n\sin(n x)\bigr)\] waarbij de Fouriercoëfficiënten berekend kunnen worden met de volgende formules \[\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\,\dd x \\ \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,\dd x\qquad\text{voor }n\ge 1\\ \\ b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\sin(nx)\,\dd x \qquad\text{voor }n\ge 1\end{aligned}\] Maar dan kunnen we ook de Fourierbenadering van de oorspronkelijke functie \(f(x)\) bepalen omdat \(g(x)=f\left(\frac{Tx}{2\pi}\right)\) herschreven kan worden als \(f(x)=g\left(\frac{2\pi x}{T}\right)\).
Voor een 'nette' periodieke functie \(f(x)\) is met periode \(T\) geldt: \[\begin{aligned}f(x) &= a_0+a_1\cos\left(\frac{2\pi x}{T}\right)+b_1\sin\left(\frac{2\pi x}{T}\right)+ a_2\cos\left(\frac{4\pi x}{T}\right)+b_2\sin\left(\frac{4\pi x}{T}\right)+\ldots\\ \\ &= a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) +b_n\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\right)\end{aligned}\] waarbij de Fouriercoëfficiënten berekend kunnen worden met de volgende formules: \[\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\,\dd x \\ \\ a_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\,\dd x\qquad\text{als}n\ge 1\\ \\ b_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\,\dd x \qquad\text{als }n\ge 1\end{aligned}\]
In bovenstaande formule van een Fourierbenadering staan wel erg veel breuken. Door een iets andere keuze van letters kun je de formule compacter en eenvoudiger maken. We geven de volgende formulering die je in veel handboeken ziet staat:
Voor een 'nette' periodieke functie \(f(x)\) met periode \(2L\) geldt: \[\begin{aligned}f(x) &= \frac{a_0}{2}+a_1\cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)+b_1\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)+ a_2\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)+b_2\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)+\ldots\\ \\ &= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) +b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\end{aligned}\] waarbij de Fouriercoëfficiënten berekend kunnen worden met de volgende formules: \[\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,\dd x\qquad\text{if }n=0,1,2,\ldots\\ \\ b_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,\dd x \qquad\text{if }n=1,2,3,\ldots\end{aligned}\]
Bekijk de functie \(f(x)=x^2\) op het interval \((-1,1)\) en zet die periodiek voort. Dan geldt: \[f(x)=\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\cos(n\pi x)}{n^2}\] In dit voorbeeld is de periode gelijk aan 2 (en dus \(L=1\) in bovenstaande formules). Dus: \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x) +b_n\sin(n\pi x)\bigr)\] waarbij \[\begin{aligned} a_0 &= \int_{-1}^{1}x^2\,\dd x = \Bigl[\frac{1}{3}x^3\Bigr]_{-1}^{1} = \frac{2}{3} \\ \\ \\ a_n &= \int_{-1}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,\dd x \\ \\ &= \Bigl[\frac{x^2\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigl]_{-1}^{1}-\frac{1}{n\pi}\int_{-1}^{1}x\sin(n\pi x)\,\dd x\qquad\blue{\text{partieel integreren}} \\ \\ &= \frac{1}{n\pi}\int_{-1}^{1}-x\sin(n\pi x)\,\dd x \\ \\ &= \frac{1}{(n\pi)^2}\cdot \Bigl[x\cos(n\pi x)\Bigr]_{-1}^{1} + \frac{1}{(n\pi)^2} \int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\,\dd x \qquad\blue{\text{partieel integreren}}\\ \\ &= \frac{4\cos(n\pi)}{(n\pi)^2} +\frac{1}{(n\pi)^3}\Bigl[\sin(n\pi x)\Bigr]_{-1}^{1} \\ \\ &= \frac{4 (-1)^n}{\pi^2n^2}\qquad\text{voor }n=1,2,\ldots\\ \\ \\ b_n &= \int_{-1}^{1}x^2\sin(n\pi x)\,\dd x = 0 \qquad\text{voor }n=1,2,3,\ldots\text{ omdat de integrand oneven is}\end{aligned}\] Bij de berekening van de laatste integraal hebben we gebruik gemaakt van het gegeven dat \[ \int_{-a}^{a} g(x)\,\dd x =0\qquad\blue{\text{voor een oneven functie }g(x)}\tiny,\] dat wil zeggen voor een functie met de eigenschap dat \(g(-x)=-g(x)\). In dit geval geldt immers: \[\begin{aligned} \int_{-a}^{a} g(x)\,\dd x &= \int_{-a}^{0} g(x)\,\dd x + \int_{0}^{a} g(x)\,\dd x \\ \\ &= -\int_{a}^{0} g(-y)\,\dd y + \int_{0}^{a} g(x)\,\dd x \\ \\ &= \int_{a}^{0} g(y)\,\dd y + \int_{0}^{a} g(x)\,\dd x\\ \\ &= -\int_{0}^{a} g(y)\,\dd y + \int_{0}^{a} g(x)\,\dd x = 0\end{aligned}\] Deze argumentatie hadden we al eerder kunnen gebruiken bij het uitrekenen van bepaalde integralen.
We hebben dus de volgende Fourierreeks gevonden: \[f(x) = \frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\cos(n\pi x)}{n^2}\] In onderstaande figuur staan de grafieken van de functie en de Fourier cosinusreeks met 2 respectievelijk 8 cosinustermen. Als snel heb je een goede benadering.
Je kunt ook onderstaande interactieve versie gebruiken om een indruk te krijgen van de benadering van de functie met een Fourierreeks en het bijpassende frequentie-amplitudespectrum.
Substitutie van \(x=1\) in de Fourierreeks geeft: \[ 1 = \frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\] Dit kan herleid worden tot de beroemde formule van Euler: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}\]