Fourierreeksen: Fourierreeksen en complexe getallen
De complexe Fourierreeks
Voor een 'nette' periodieke functie \(f(x)\) met periode \(2L\) geldt: \[f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\omega x) +b_n\sin(n\omega x)\bigr)\] waarbij \(\omega=\dfrac{\pi}{L}\) en de Fouriercoëfficiënten berekend kunnen worden met de volgende formules: \[\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(n\omega x)\,\dd x\qquad\text{voor }n=0,1,2,\ldots\\ \\ b_n &= \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin(n\omega x)\,\dd x \qquad\text{voor }n=1,2,3,\ldots\end{aligned}\]
We trekken de stoute schoenen aan en gaan de Fourierreeks in termen van complexe getallen en functies beschrijven. Met behulp van de bekende relaties van Euler \[\begin{aligned} e^{\,\mathrm{i}\,\varphi} &= \cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi \\ \\ \cos \varphi &= \frac{e^{\,\mathrm{i}\,\varphi} + e^{-\mathrm{i}\,\varphi}}{2} \\ \\ \sin \varphi &= \frac{e^{\,\mathrm{i}\,\varphi} - \e^{-\mathrm{i}\,\varphi}}{2\,\mathrm{i}} \end{aligned}\] kunnen we de Fourierreeks herschrijven als \[\sum_{n = -\infty}^{\infty} \alpha_n \, \e^{\mathrm{i}n\omega x} = \cdots + \alpha_{-2}\e^{-2\mathrm{i}\omega x} + \alpha_{-1}\e^{-\mathrm{i}\omega x} + \alpha_0 + \alpha_{1}\e^{\mathrm{i}\omega x} + \alpha_{2}\e^{2\mathrm{i}\omega x} + \cdots \] waarin \[\begin{aligned} \alpha_0 &= \tfrac{1}{2}a_0 \\
\alpha_n &= \tfrac{1}{2}(a_n-\mathrm{i}\, b_n) & (n\ge 1) \\ \alpha_{-n} &= \tfrac{1}{2}(a_n+\mathrm{i}\, b_n) = \overline{\alpha_{n}} & (n\ge 1)\end{aligned}\] We noemen dit de complexe Fourierreeks, alhoewel de som wel een reële functie van \(x\) is, mits natuurlijk \(f(x)\) zelf een nette periodieke reële functie is. We kunnen de coëfficiënten \(\alpha_n\) ook uitdrukken als een integraal van een complexe functie (mits we aannemen dat complexe functies ook geïntegreerd kunnen worden), namelijk \[\alpha_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-\mathrm{i}n\omega x}\,\dd x\] Immers: \[\begin{aligned}\alpha_n &= \tfrac{1}{2}(a_n-\mathrm{i}\,b_n) \\ \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(n\omega x)\,\dd x -\mathrm{i}\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin(n\omega x)\,\dd x\right)\\ \\ &= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\bigl(\cos(n\omega x)-\mathrm{i}\,\sin(n\omega x)\bigr)\,\dd x \\ \\ &= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)e^{-\mathrm{i}n\omega x}\,\dd x\end{aligned}\] Als \(f(x)\) een periodieke functie met periode \(T\) is kunnen we dit resultaat ook compacter opschrijven als \[\alpha_n=\frac{1}{T}\int_T f(x)e^{-\mathrm{i}n\omega x}\,\dd x\] waarbij de \(T\) onder het integraalteken aangeeft dat er over een 'volle periode', dat wil zeggen een interval van lengte \(T\), geïntegreerd moet worden; waar dat interval begint, maakt vanwege de periodiciteit van \(f(x)\) niets uit. De coëfficiënten \(\alpha_n\) noemen we de complexe Fouriercoëfficiënten. Het zijn complexe getallen, maar de bijpassende complexe Fourierreeks is wel reëelwaardig. De reële Fouriercoëfficiënten kunnen eenvoudig uit de complexe Fouriercoëfficiënten berekend worden: \[a_n = 2\,\mathrm{Re}(\alpha_n)\quad\mathrm{en}\quad b_n = -2\,\mathrm{Im}(\alpha_n)\] Ook is duidelijk dat het amplitudespectrum bestaat uit een scalair veelvoud van \(|\alpha_n|\) omdat namelijk \[|\alpha_n| = \tfrac{1}{2}\bigl|(a_n-\mathrm{i}\,b_n)\bigr|=\tfrac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}\tiny.\]
Tot nu toe hebben we de Fourierreeks alleen nog maar anders opgeschreven, in termen van complexe getallen en complexe functies. Maar wat zijn we daar nu mee opgeschoten? Het grote voordeel blijkt te zijn dat het integreren met complexe functies vaak veel gemakkelijker gaat en dat we twee vliegen in één klap slaan: we berekenen tegelijkertijd de Fouriercoëfficiënt van een sinus- als cosinusterm.
Bij berekeningen gebruiken we vaak de volgende eigenschap:
Integratie-eigenschap van complexe e-machten \[\int_{-\pi}^{\pi} e^{\,\mathrm{i}nx}\,\dd x = \begin{cases} 2\pi & \text{als }n=0\\ 0 & \text{als }n\neq 0\end{cases}\]
Laten we nu eens twee voorbeelden van berekeningen van Fourier reeksen bekijken om het nut van rekenen met complexe getallen te appreciëren.
Voorbeeld 1 We kijken nog eens naar het allereerste voorbeeld van de periodieke voortzetting van de functie \(f(x)=\tfrac{1}{2}x\) op het interval \((-\pi,\pi)\). Omdat \(\omega=1\), geldt dan: \[\begin{aligned} \alpha_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{1}{2}xe^{-\mathrm{i}n x}\,\dd x \\ \\ &=\Bigl[ -\frac{1}{4\pi\mathrm{i}n}x e^{-\mathrm{i}n x}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} +\frac{1}{4\pi\mathrm{i}n}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-\mathrm{i}n x}\,\dd x\qquad\blue{\text{partieel integreren}}\\ \\ &= -\frac{1}{4\pi\mathrm{i}n}x\pi e^{-\mathrm{i}n\pi}-\frac{1}{4\pi\mathrm{i}n}\pi e^{\mathrm{i}n\pi} \qquad\text{want de integraal is nul voor }n\neq 0 \\ \\ &= \frac{\mathrm{i}}{2n}\left(\frac{e^{\mathrm{i}n\pi}+e^{-\mathrm{i}n\pi}}{2}\right)\\ \\ &= \frac{\mathrm{i}}{2n}\cos(n\pi) \\ \\ &= \frac{\mathrm{i}(-1)^n}{2n} \end{aligned}\] De uitkomst is een imaginair getal en dus is de reële Fourier reeks een sinusreeks, en wel met coëfficiënten \[b_n= -2\,\mathrm{Im}\left(\frac{\mathrm{i}(-1)^n}{2n}\right)= -\frac{(-1)^n}{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
Voorbeeld 2 We bekijken periodieke voortzetting van de functie \(f(x)=e^{- 2\pi x}\) op het interval \((0,1)\). Dan \(T=1\) en \(\omega=2\pi\), en dus: \[\begin{aligned} \alpha_n &=\int_{0}^{1}e^{-2\pi x}e^{-2\pi n\mathrm{i} x}\,\dd x \\ &= \int_{0}^{1}e^{-2\pi(1+n\,\mathrm{i}) x}\,\dd x \\ \\ &= \Bigl[-\frac{1}{2\pi(1+n\,\mathrm{i})}e^{-2\pi(1+n\,\mathrm{i}) x} \Bigr]_0^1 \\ \\ &= -\frac{1}{2\pi(1+n\,\mathrm{i})}e^{-2\pi(1+n\,\mathrm{i})} + \frac{1}{2\pi(1+n\,\mathrm{i})}e^0 \\ \\ &= \frac{1}{2\pi(1+n\,\mathrm{i})}\left(1-e^{-2\pi}\right)\qquad\text{omdat }e^{-2\pi\mathrm{i}}=1\\ \\ &= \frac{1-e^{-2\pi}}{2\pi}\left(\frac{1}{n^2+1}-\frac{n}{n^2+1}\,\mathrm{i}\right)\end{aligned}\] De complexe Fouriercoëfficiënt was eenvoudig uit te rekenen en hiermee zijn ook de reële Fouriercoëfficiënten bekend: \[a_n=\frac{1-e^{-2\pi}}{\pi(n^2+1)}\quad\mathrm{en}\quad b_n = \frac{n(1-e^{-2\pi})}{\pi(n^2+1)}\] Het frequentie-amplitudespectrum is ook bekend door de absolute waarde van de complexe Fouriercoëfficiënten te bepalen; dit levert de volgende afbeelding op: \[n\mapsto \frac{1-e^{-2\pi}}{2\pi\sqrt{n^2+1}}\] Deze berekening was een stuk ingewikkeld geweest als we geen complexe getallen en functies hadden gebruikt.