Fourierreeksen: Fourierreeksen en complexe getallen
Fourierintegralen
Kun je het bij Fourierreeksen met enige moeite nog wel zonder complexe getallen stellen, bij de Fourierintegralen is dat praktisch uitgesloten. Fourierintegralen vormen het analogon van Fourierreeksen bij niet-periodieke functies. Je kunt ze via een limietovergang intuïtief uit Fourierreeksen afleiden, maar dat laten we achterwege. In plaats daarvan laten we de definitie gewoon uit de lucht vallen. Omdat de theorie vooral in signaalanalyse gebruikt wordt, zullen we alleen nog maar functies in tijd \(t\) bekijken en het symbool \(x\) niet meer als onafhankelijke variabele gebruiken.
Bij een gegeven 'nette' functie \(f(t)\) (we laten weer in het midden wat men precies onder 'net' mag verstaan) wordt de Fouriergetransformeerde \(\hat{f}(\omega)\) gedefinieerd door \[ \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\e^{-\mathrm{i}\,\omega t}\,\dd t \] Deze functie speelt een rol die vergelijkbaar is met die van de Fouriercoëfficiënten \(\alpha_n\) van de Fourierreeks van een periodieke functie. Men noemt \(\hat{f}(\omega)\) ook wel de spectrale dichtheid van \(f(t)\).
In zekere zin is het gebruik van \(\omega\) in deze notatie ongelukkig, want de variabele \(\omega\) speelt hier een andere rol dan de \(\omega\) bij de Fourierreeksen. Daar was \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\), maar hier is \(\omega\) een variabele die de gehele verzameling van reële getallen doorloopt, net als de variabele \(t\) bij de functie \(f(t)\). In toepassingen spreekt men vaak over het \(t\)-domein (of het tijddomein bij signalen) en het \(\omega\)-domein (of het frequentiedomein). De Fouriertransformatie zet dan een functie \(f(t)\) in het tijddomein over in een functie \(\hat{f}(\omega)\) in het frequentiedomein. Het verrassende is dat er bij deze overzetting geen informatie verloren gaat, althans wanneer de functies zich netjes gedragen.
We hebben al gezien hoe een functie van het \(t\)-domein naar het \(\omega\)-domein wordt getransformeerd. Er is ook een inverse transformatie die functies uit het \(\omega\)-domein weer naar het \(t\)-domein terughaalt, en de formule waarmee dit gebeurt lijkt erg op die van de gewone Fouriertransformatie: \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \,\e^{\mathrm{i}\,\omega t}\,\dd\omega\] Dat is in zekere zin het analogon van de Fourierreeks voor periodieke functies, die immers een functie schrijft als een oneindige som van Fouriercoëfficiënten en complexe \(e\)-machten. Ook hierover is veel meer te vertellen dan hier mogelijk is. We volstaan ermee op te merken dat de Fourierintegralen, meer nog dan de Fourierreeksen, voor de toepassingen van eminent belang zijn; ze vormen het belangrijkste instrument voor signaalbewerking.
Als voorbeeld berekenen we de spectrale dichtheid \(\hat{s}(\omega)\) van het signaal \(s(t)\) dat gegeven wordt door \[ s(t) = \begin{cases} 1 & \text{als }-\pi\le t\le \pi \\ 0 & \text{anders} \end{cases} \] In dat geval is \[\begin{aligned} \hat{s}(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \,\e^{-\mathrm{i}\omega t}\,\dd t\\ \\ &= \int_{-\pi}^{\pi}\e^{-\mathrm{i}\omega t}\,\dd t \\ \\ &= \left[ \frac{-1}{i\omega} \e^{-\mathrm{i}\omega t} \right]_{t=-\pi}^{\pi} \\ \\ &= \frac{-1}{\mathrm{i}\omega}\left( \e^{-\mathrm{i}\omega \pi} - \e^{\mathrm{i}\omega \pi} \right) \\ \\ &= \frac{2\sin \pi \omega}{\omega}\end{aligned}\]
De omkeerformule geeft nu
\[ s(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(\omega) \, \e^{\mathrm{i}\omega t}\, \dd\omega \]
en in het bijzonder is (substitueer \(t=0\))
\[ s(0) = 1 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{p}(\omega) \, \e^{0}\,\dd\omega =
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\sin \pi \omega}{\omega}\,\dd\omega \] en hieruit volgt (stel \(x = \pi \omega\) en merk op dat \(\dfrac{\sin x}{x}\) een even functie is) het beroemde resultaat \[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac{\pi}{2}\tiny. \]
Het belang van de Fouriertransformatie is alleen maar toegenomen door de komst van de computer. Die maakte het in principe mogelijk de integralen waarmee de Fouriertransformatie gedefinieerd is ook numeriek te berekenen via een zogenaamde Discrete Fouriertransformatie (DFT), maar dit werd pas echt doenlijk toen de Fast Fourier Transform (FFT) ten tonele verscheen, een buitengewoon efficiënt algoritme om van het discrete tijddomein naar het discrete frequentiedomein over te stappen en omgekeerd. Al deze ontwikkelingen hebben het mogelijk gemaakt zowel continue als discrete signalen in de beide domeinen te analyseren en te bewerken, met schier onbegrensde toepassingsmogelijkheden. En bij al die toepassingen zijn calculus, complexe getallen, en complexe functie onontbeerlijke hulpmiddelen gebleken.