Functies van meer variabelen: Basisconcepten
Basisbegrippen
Functies van één veranderlijke functioneren als machientjes die uit één getal een nieuw getal produceren volgens een gegeven wiskundige formule. Maar je kunt natuurlijk ook machientjes en formules bedenken die uit twee getallen een nieuw getal produceren. We spreken dan van een functie van twee veranderlijken, ook wel functies van twee variabelen genoemd.
Eenvoudige voorbeelden
- Oppervlakte \(O\) van een driehoek met basis \(b\) en hoogte \(h\): \(O(b,h)=\tfrac{1}{2}\cdot b\cdot h\).
- Afstand \(s\) afgelegd bij eenparige beweging met snelheid \(v\) en tijdsduur \(t\): \(s(v,t) = v\cdot t\).
De terminologie van functies van één veranderlijke wordt ook bij functies van meer variabelen gebruikt. Het tweede voorbeeld is in functievorm opgeschreven, maar je komt het vast vaker tegen in de vorm van relaties tussen grootheden: \(s=v\cdot t\). De snelheid \(v\) en tijdsduur \(t\) zijn dan de onafhankelijke variabelen en de afgelegde afstand \(s\) is de afhankelijke variabele, omdat de waarde hiervan afhangt van de waarden van de afhankelijke variabelen. Het functievoorschrift is de uitdrukking \(v\cdot t\). De afhankelijke variabelen zijn expliciet opgeschreven, geïsoleerd van de onafhankelijk variabelen. Veel relaties worden evenwel niet zo expliciet als functie gegeven. Een voorbeeld:
De lenzenformule voor een lens met een brandpuntsafstand \(f\) is \[\frac{1}{b}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f},\] waarin \(v\) de voorwerpsafstand is en \(b\) de beeldafstand.
Dit heet een impliciet verband tussen grootheden. Soms is zo'n verband een functie, maar lang niet altijd: denk bijvoorbeeld aan de vergelijking \(x^2+y^2+z^2=1\) voor de bol met centrum ((0,0,0)\) en straal \(1\), waarin \(z\) niet als functie van \(x\) en \(y\) kan geschreven worden.
Een relatie tussen drie variabelen \(x\), \(y\) en \(z\), waarbij \(x\) en \(y\) als onafhankelijke variabelen optreden, is een functie \(z=z(x,y)\) als bij elke toelaatbare waarden voor \(x\) en \(y\) precies één waarde voor \(z\) hoort. Elk paar van toelaatbare waarden voor \(x\) en \(y\) noemt men een origineel; elke bijpassende waarde voor \(z\) heet dan de functiewaarde van dat origineel. Een functie verbindt dus op eenduidige wijze elk origineel met een functiewaarde. Alle originelen bij elkaar vormen het domein van de functie en alle functiewaarden die kunnen voorkomen vormen samen het bereik van de functie.
