Isoleren van een variabele

Functies van meer variabelen: Basisconcepten

Isoleren van een variabele

Een impliciet verband tussen drie of meer variabelen herschrijven in een vorm waarbij één van de variabelen, zeg $v$ , in zijn eentje aan de linkerkant van een vergelijking staat, d.w.z. een vergelijking van de vorm $v = \mathrm{formule\;zonder\;}v$ creëren, heet het vrijmaken of isoleren van de variabele $v$ . Je krijgt dan een functievoorschrift van een functie van meer variabelen. Onderstaand voorbeeld laat zien hoe dit in zijn werk kan gaan.

In de relatie $\displaystyle y=\frac{13x+4z}{-9x+5z}$ zie je meteen dat $y$ een functie van $x$ en $z$ is.
Is $z$ nu ook een functie van $x$ en $y$ en, zo ja, wat is het functievoorschrift dan?
Met andere woorden, kun je $z$ uitdrukken in $x$ en $y$ in de vorm $z=\mathrm{formule\;in\;} x\mathrm{\;en\;}y$ .

Je kunt de oplossing ook bereiken door tussenstappen in de vorm van vergelijkingen in te toetsen:
je ziet dan steeds of je nog op de goede weg bent,
maar uiteindelijk moet je de vergelijking in de vorm $z=\ldots$ zien te krijgen.

Je probeert de variabele $z$ te isoleren in het gegeven verband $\displaystyle y=\frac{13x+4z}{-9x+5z}$ .
Vermenigvuldig links en rechts met $-9x+5z$ en vereenvoudig:

$\begin{aligned} (-9x+5z)y &= \frac{(13x+4z)(-9x+5z)}{(-9x+5z)}\\ \\ -9xy+5yz&=13x+4z \end{aligned}$ Je hebt dan een vergelijking zonder noemers gekregen en je hoeft voorlopig alleen veeltermvergelijkingen te manipuleren.
Zet alle termen met $z$ aan de linkerkant, breng alle termen zonder $z$ naar de rechterkant en ontbind in factoren:

$\begin{aligned} 5yz-4z &= 9xy+13x\\ \\ z(5y-4) &=x(9y+13) \end{aligned}$ Delen door $5y-4$ geeft de gevraagde formulevorm:

$z=\frac{x(9y+13)}{5y-4}$ Dit kan gelezen worden als een functievoorschrift van $z$ in $x$ en $y.$

Nieuw voorbeeld