Functies van meer variabelen: Basisconcepten
Isoleren van een variabele
Een impliciet verband tussen drie of meer variabelen herschrijven in een vorm waarbij één van de variabelen, zeg \(v\), in zijn eentje aan de linkerkant van een vergelijking staat, d.w.z. een vergelijking van de vorm \(v = \mathrm{formule\;zonder\;}v\) creëren, heet het vrijmaken of isoleren van de variabele \(v\). Je krijgt dan een functievoorschrift van een functie van meer variabelen. Onderstaand voorbeeld laat zien hoe dit in zijn werk kan gaan.
In de relatie \(\displaystyle y=\frac{13x+3z}{-8x+7z}\) zie je meteen dat \(y\) een functie van \(x\) en \(z\) is.
Is \(z\) nu ook een functie van \(x\) en \(y\) en, zo ja, wat is het functievoorschrift dan?
Met andere woorden, kun je \(z\) uitdrukken in \(x\) en \(y\) in de vorm \(z=\mathrm{formule\;in\;} x\mathrm{\;en\;}y\).
Je kunt de oplossing ook bereiken door tussenstappen in de vorm van vergelijkingen in te toetsen:
je ziet dan steeds of je nog op de goede weg bent,
maar uiteindelijk moet je de vergelijking in de vorm \(z=\ldots\) zien te krijgen.
Is \(z\) nu ook een functie van \(x\) en \(y\) en, zo ja, wat is het functievoorschrift dan?
Met andere woorden, kun je \(z\) uitdrukken in \(x\) en \(y\) in de vorm \(z=\mathrm{formule\;in\;} x\mathrm{\;en\;}y\).
Je kunt de oplossing ook bereiken door tussenstappen in de vorm van vergelijkingen in te toetsen:
je ziet dan steeds of je nog op de goede weg bent,
maar uiteindelijk moet je de vergelijking in de vorm \(z=\ldots\) zien te krijgen.
Je probeert de variabele \(z\) te isoleren in het gegeven verband \(\displaystyle y=\frac{13x+3z}{-8x+7z} \).
Vermenigvuldig links en rechts met \(-8x+7z\) en vereenvoudig:
\[\begin{aligned}
(-8x+7z)y &= \frac{(13x+3z)(-8x+7z)}{(-8x+7z)}\\ \\
-8xy+7yz&=13x+3z
\end{aligned}\] Je hebt dan een vergelijking zonder noemers gekregen en je hoeft voorlopig alleen veeltermvergelijkingen te manipuleren.
Zet alle termen met \(z\) aan de linkerkant, breng alle termen zonder \(z\) naar de rechterkant en ontbind in factoren:
\[\begin{aligned}
7yz-3z &= 8xy+13x\\ \\
z(7y-3) &=x(8y+13)
\end{aligned}\] Delen door \(7y-3\) geeft de gevraagde formulevorm: \[z=\frac{x(8y+13)}{7y-3}\] Dit kan gelezen worden als een functievoorschrift van \(z\) in \(x\) en \(y.\)
Vermenigvuldig links en rechts met \(-8x+7z\) en vereenvoudig:
\[\begin{aligned}
(-8x+7z)y &= \frac{(13x+3z)(-8x+7z)}{(-8x+7z)}\\ \\
-8xy+7yz&=13x+3z
\end{aligned}\] Je hebt dan een vergelijking zonder noemers gekregen en je hoeft voorlopig alleen veeltermvergelijkingen te manipuleren.
Zet alle termen met \(z\) aan de linkerkant, breng alle termen zonder \(z\) naar de rechterkant en ontbind in factoren:
\[\begin{aligned}
7yz-3z &= 8xy+13x\\ \\
z(7y-3) &=x(8y+13)
\end{aligned}\] Delen door \(7y-3\) geeft de gevraagde formulevorm: \[z=\frac{x(8y+13)}{7y-3}\] Dit kan gelezen worden als een functievoorschrift van \(z\) in \(x\) en \(y.\)
Ontgrendel volledige toegang
