Functies van meer variabelen: Partiële afgeleiden
Partiële afgeleiden van de eerste orde
Je kunt bij een functie \(f(x,y)\) een van twee variabelen, zeg \(y\), constant houden. Je krijgt dan een functie die alleen \(x\) als onafhankelijke variabele heeft. In de grafiek van \(f\) bevindt je je dan op een coördinaatlijn bij constante \(y\)-waarde. Als deze functie van \(x\) 'net' is, kun je de afgeleide hiervan bepalen: deze afgeleide heet de partiële afgeleide van \(f(x,y)\) naar \(x\) en deze afgeleide heeft orde 1. Dit laatste is alleen van belang als we hogere partiële afgeleiden bespreken en laat je meestal weg in de beschrijving. De volgende drie notaties voor de partiële afgeleide worden vaak gebruikt: \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\quad \frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\quad \mathrm{en}\quad f_x(x,y)\] Volgens de definitie van de partiële afgeleide is \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\approx \frac{f(x+{\vartriangle}x,y)-f(x,y)}{{\vartriangle}x}\quad\mathrm{voor\;kleine\;}{\vartriangle}x\] Evenzo krijg je de partiële afgeleide naar \(y\) wanneer je juist \(x\) constant houdt en \(y\) als onafhankelijke variabele opvat. De gangbare notaties zijn dan \[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),\quad \frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\quad \mathrm{en}\quad f_y(x,y)\]
Definitie en notatie De partiële afgeleiden van de functie \(f(x,y)\) zijn functies \(\frac{\partial f}{\partial x}\) en \(\frac{\partial f}{\partial y}\) gedefinieerd door \[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &=\lim_{{\vartriangle}x\rightarrow 0}\frac{f(x+{\vartriangle}x,y)-f(x,y)}{{\vartriangle}x}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &=\lim_{{\vartriangle}y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+{\vartriangle}y)-f(x,y)}{{\vartriangle}y}\end{aligned}\]
Wanneer we de partiële afgeleide van de functie \(f(x,y)\) in een bepaald punt \((a,b)\) willen hebben, dan gebruiken we ook de volgende notatie \[\frac{\partial f}{\partial x}\Biggl|_{(a,b)} \mathrm{i.p.v.\;}\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \qquad\mathrm{en}\qquad\frac{\partial f}{\partial y}\!\Biggl|_{(a,b)} \mathrm{i.p.v.\;}\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\] Het handigst is in dit geval de notatie \(f_x(a,b)\) en \(f_y(a,b)\).
Rekenregels voor partieel differentiëren De rekenregels voor afgeleiden van functies van één variabele, dat wil zeggen de constante factorregel en de som-, verschil, product- en quotiëntregel, zijn toepasbaar bij partiële afgeleiden.
Partiële afgeleide naar \(x\): \[\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial x}(c\cdot f)&= c\cdot \frac{\partial f}{\partial x}\quad \mathrm{voor\; constante\;}c\\ \\ \frac{\partial }{\partial x}(f\pm g)&= \frac{\partial f}{\partial x}\pm \frac{\partial g}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial }{\partial x}(f\cdot g) &= \frac{\partial f}{\partial x}\cdot g + f\cdot \frac{\partial g}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) &= \frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\cdot g - f\cdot \frac{\partial g}{\partial x}}{g^2}\end{aligned}\]
Partiële afgeleide naar \(y\): \[\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial y}(c\cdot f)&= c\cdot \frac{\partial f}{\partial y}\quad \mathrm{voor\; constante\;}c\\ \\ \frac{\partial }{\partial y}(f\pm g)&= \frac{\partial f}{\partial y}\pm \frac{\partial g}{\partial y}\\ \\\frac{\partial }{\partial y}(f\cdot g) &= \frac{\partial f}{\partial y}\cdot g + f\cdot \frac{\partial g}{\partial y} \\ \\ \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{f}{g}\right) &= \frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\cdot g - f\cdot \frac{\partial g}{\partial y}}{g^2}\end{aligned}\]
Het resterende stukje van de formule dat van \(y\) afhangt is dan \(y^5\).
De afgeleide (naar \(y\)) hiervan is \(5 \cdot y^{5-1}=5 y^4\).
Het eindresultaat is het product van de twee tussenresultaten: \[\frac{\partial}{\partial y} (3x^{2}y^{5})=3x^{2}\cdot 5 y^4=15x^2y^4\]
Voor functies van meer dan twee variabelen kunnen op soortgelijke manier afgeleiden gedefinieerd worden. Bijvoorbeeld geldt voor de functie \[f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\] dat \[\frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z) = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\]
