We bekijken het voorbeeld van de volgende functie van twee variabelen

$$f(x,y)=\frac{x}{x+y}$$ De partiële afgeleiden van orde 1 zijn in dit geval met de quotiëntregel uit te rekenen en zijn (ga dat zelf na!) $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x+y}\right) &= \frac{y}{(x+y)^2}\\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x+y}\right) &= -\frac{x}{(x+y)^2}\end{aligned}$$ De partiële afgeleiden zijn op zichzelf weer functies van de twee variabelen $x$ en $y$, hiervan kun je opnieuw partiële afgeleiden bepalen. Die worden partiële afgeleiden van de tweede orde genoemd.

Zo zijn de partiële afgeleiden van $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$ gelijk aan

$$\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right) &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{(x+y)^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(x+y)^{-2}\bigr)\\ \\ &= -2y(x+y)^{-3}= -2\frac{y}{(x+y)^3} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{(x+y)^2}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y(x+y)^{-2}\bigr) \\ \\ &=(x+y)^{-2}-2y(x+y)^{-3}\\ \\ &= \frac{1}{(x+y)^2} -\frac{2y}{(x+y)^3}\\ \\ &= \frac{x+y}{(x+y)^3} -\frac{2y}{(x+y)^3}=\frac{x-y}{(x+y)^3}\end{aligned}$$

De partiële afgeleiden van $\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)$ zijn gelijk aan (ga dat zelf na!)

$$\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) &= \frac{x-y}{(x+y)^3} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right) &=\frac{2x}{(x+y)^3}\end{aligned}$$

Eigenschap van 'gemengde' partiële afgeleiden Wat opvalt is dat de 'gemengde' afgeleiden $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right)$ en $\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right)$ aan elkaar gelijk zijn. Dat is geen toeval: als de partiële afgeleiden van $f$ bestaan en continu zijn is dat altijd zo. Met andere woorden, bij 'nette' functies van twee variabelen doet de volgorde waarin 'gemengde' partiële afgeleiden can orde 2 berekend worden er niet toe.

Notaties voor hogere partiële afgeleiden De volgende notaties voor afgeleiden van tweede orde worden gebruikt:

$$\begin{array}{ccccccc} \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} (x,y) & = & f_{xx}(x,y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} (x,y) & = & f_{xy}(x,y)\\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial y\partial x} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y) & = & f_{yx}(x,y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} (x,y) & = & f_{yy}(x,y) \end{array}$$ Soortgelijke notatie worden gebruikt voor hogere partiële afgeleiden en voor partiële afgeleiden van functies van meer dan twee variabelen.

Notitie: in de meeste tekstboeken wordt de notatie $f_{yx}$ voor $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} (x,y)$ gebruikt om te benadrukken dat je eerst naar $y$ differentieerd en daarna naar $x$. Omdat voor functies met continue afgeleiden geldt dat $f_{xy}=f_{yx}$ maakt het niet veel uit. Maar wij geven de voorkeur om partiële afgeleiden van orde 2 te beschouwen als een samenstelling van differentiaaloperatoren $\frac{\partial}{\partial x}$ and $\frac{\partial}{\partial y}$, en we korten de notatie van samenstelling van functies af.