Functies van meer variabelen: Partiële afgeleiden
Hogere partiële afgeleiden
We bekijken het voorbeeld van de volgende functie van twee variabelen \[f(x,y)=\frac{x}{x+y}\] De partiële afgeleiden van orde 1 zijn in dit geval met de quotiëntregel uit te rekenen en zijn (ga dat zelf na!) \[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x+y}\right) &= \frac{y}{(x+y)^2}\\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x+y}\right) &= -\frac{x}{(x+y)^2}\end{aligned}\] De partiële afgeleiden zijn op zichzelf weer functies van de twee variabelen \(x\) en \(y\), hiervan kun je opnieuw partiële afgeleiden bepalen. Die worden partiële afgeleiden van de tweede orde genoemd.
Zo zijn de partiële afgeleiden van \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\) gelijk aan \[\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)\right) &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{(x+y)^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(x+y)^{-2}\bigr)\\ \\ &= -2y(x+y)^{-3}= -2\frac{y}{(x+y)^3} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{(x+y)^2}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y(x+y)^{-2}\bigr) \\ \\ &=(x+y)^{-2}-2y(x+y)^{-3}\\ \\ &= \frac{1}{(x+y)^2} -\frac{2y}{(x+y)^3}\\ \\ &= \frac{x+y}{(x+y)^3} -\frac{2y}{(x+y)^3}=\frac{x-y}{(x+y)^3}\end{aligned}\]
De partiële afgeleiden van \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\) zijn gelijk aan (ga dat zelf na!) \[\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) &= \frac{x-y}{(x+y)^3} \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right) &=\frac{2x}{(x+y)^3}\end{aligned}\]
Eigenschap van 'gemengde' partiële afgeleiden Wat opvalt is dat de 'gemengde' afgeleiden \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\right)\) en \(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right)\) aan elkaar gelijk zijn. Dat is geen toeval: als de partiële afgeleiden van \(f\) bestaan en continu zijn is dat altijd zo. Met andere woorden, bij 'nette' functies van twee variabelen doet de volgorde waarin 'gemengde' partiële afgeleiden can orde 2 berekend worden er niet toe.
Notaties voor hogere partiële afgeleiden De volgende notaties voor afgeleiden van tweede orde worden gebruikt: \[\begin{array}{ccccccc} \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} (x,y) & = & f_{xx}(x,y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial x\partial y} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} (x,y) & = & f_{xy}(x,y)\\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial y\partial x} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y) & = & f_{yx}(x,y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial}{\partial y} f(x,y)\right) & = & \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} f(x,y) & = & \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} (x,y) & = & f_{yy}(x,y) \end{array}\] Soortgelijke notatie worden gebruikt voor hogere partiële afgeleiden en voor partiële afgeleiden van functies van meer dan twee variabelen.
Notitie: in de meeste tekstboeken wordt de notatie \(f_{yx}\) voor \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} (x,y)\) gebruikt om te benadrukken dat je eerst naar \(y\) differentieerd en daarna naar \(x\). Omdat voor functies met continue afgeleiden geldt dat \(f_{xy}=f_{yx}\) maakt het niet veel uit. Maar wij geven de voorkeur om partiële afgeleiden van orde 2 te beschouwen als een samenstelling van differentiaaloperatoren \(\frac{\partial}{\partial x}\) and \(\frac{\partial}{\partial y}\), en we korten de notatie van samenstelling van functies af.