Kettingregels

Functies van meer variabelen: Partiële afgeleiden

Kettingregels

We blikken eerst terug op de kettingregel van functies van één variabele.

Kettingregel van een functie van één variabele We beschouwen de functie

$y(t)=(3t^2-1)^5$ als zijnde samengesteld uit de functies

$y=x^5\quad\text{en}\quad x=3t^2-1$ Er geldt dan:

$\frac{\dd y}{\dd x}=5x^4\quad\text{en}\quad \frac{\dd x}{\dd t}=6t$ In termen van differentialen hebben we

$\dd y = 5x^4\,\dd x\quad\text{en}\quad \dd x=6t\,\dd t$ Omdat

$x=3t^2-1\quad\text{en}\quad \dd x=6t\,\dd t$ geldt dus

$\dd y=5(3t^2-1)^4 6t\,\dd t$ We hebben dus

$\frac{\dd y}{\dd t}=\frac{\dd y}{\dd x}\cdot \frac{\dd x}{\dd t}$ waarbij we de afgeleide $\frac{\dd y}{\dd x}$ , die aanvankelijk een functie is van $x$ , via $x=x(t)$ ook weer in de variabele $t$ kunnen uitdrukken. Deze laatste regel geldt meer algemeen voor elke functie $y\circ x$ , dat wil zeggen voor de samenstelling van de functies $y$ en $x$ .

We bespreken nu kettingregels voor het differentiëren van functies van twee variabelen.

Als $z=z(x,y)$ een differentieerbare functie van twee variabelen is, en $x$ en $y$ differentieerbare functies van $t$ zijn, dan is $z$ een functie van $t$ en

$\frac{\dd z}{\dd t}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\dd y}{\dd t}$

Voorbeeld

Stel

$z(x,y)=x\cdot y, \quad x=\cos(t)\quad \text{en} \quad y=\sin(t)$ Dan is $z$ als functie van $t$ gelijk aan $\cos(t)\sin(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t)$ en dus $z'(t)=\cos(2t)$ . Maar dit resultaat volgt ook uit bovenstaande kettingregel:

$\begin{aligned} \frac{\dd z}{\dd t}&=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\dd y}{\dd t}\\ \\ &= \sin(t)\cdot -\sin(t) + \cos(t)\cdot\cos(t)\\ \\ &= \cos^2(t)-\sin^2(t)=\cos(2t)\end{aligned}$

Meer algemeen geldt ook de volgende rekenregel.

Als $z=z(x,y)$ een differentieerbare functie van twee variabelen is, en $x$ en $y$ differentieerbare functies van twee variabelen $s$ en $t$ zijn, dan is $z$ een functie van $s$ en $t$ en

$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial s} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} \\ \\ \frac{\partial z}{\partial t} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}\end{aligned}$

Voorbeeld

Stel

$z(x,y)=x\cdot y, \quad x=s^2+t^2\quad \text{en} \quad y=s^2-t^2$ Dan is $z$ als functie van $s$ $t$ gelijk aan $(s^2+t^2)(s^2-t^2)=s^4-t^4$ , en dus $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=4s^3$ en $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=-4t^3$ . Maar dit resultaat volgt ook uit bovenstaande kettingregel:

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s}\\ \\ &= (s^2-t^2)2s+(s^2+t^2)2s = 4s^3\\ \\ \frac{\partial z}{\partial t} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}\\ \\ &= (s^2-t^2)2t+(s^2+t^2)\cdot -2t=-4t^3\end{aligned}$

Een belangrijke toepassing van de tweede kettingregel is de omzetting van Cartesische coördinaten $x, y$ in poolcoördinaten $r,\phi$ via de definities $x=r\cos\phi, y=r\sin \phi$ .

Voorbeeld van poolcoördinaten Bekijk de functie

$z(x,y)=\frac{2xy}{x^2-y^2}$ met

$x=r\cos(\phi)\quad\text{en}\quad y=r\sin(\phi)$
In de poolcoördinaten $r, \phi$ is de functie eenvoudiger:

$z(r,\varphi) = \frac{2\cdot\bigl(r\cos(\varphi)\bigr)\cdot\bigl(r\sin(\varphi)\bigr)}{(r\cos\bigl(\varphi)\bigr)^2+\bigl(r\sin(\varphi)\bigr)^2}=\frac{2\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)}=\frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi)}=\tan(2\varphi)$ Na dit herschrijven van de functie in poolcoördinaten kom je tot de conclusie dat

$\frac{\partial z}{\partial r} = 0\quad\text{en}\quad \frac{\partial z}{\partial \varphi}=\frac{2}{\cos^2(2\varphi)}$ Maar dit resultaat volgt ook uit bovenstaande kettingregel. Eerst maar even de benodigde partiële afgeleiden uitrekenen:

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{2y\cdot (x^2-y^2)-2xy\cdot 2x}{(x^2-y^2)^2}=\frac{-2y(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{2x\cdot (x^2-y^2)-2xy\cdot -2y}{(x^2-y^2)^2}=\frac{2x (x^2+y^2}{(x^2-y^2)^2}\\ \\ \frac{\partial x}{\partial r} &= \cos(\varphi)\qquad\qquad \frac{\partial x}{\partial \varphi}= -r\sin(\varphi)\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r}&= \sin(\varphi)\qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial \varphi}= r\cos(\varphi)\end{aligned}$ Nu kunnen we de kettingregel toepassen:

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial r} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial r}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial r}\\ \\ &= \frac{-2y\,(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot \cos(\varphi)+ \frac{2x\,(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot \sin(\varphi) \\ \\ &= \frac{\bigl(2x\sin(\varphi)-2y\cos(\varphi)\bigr)\cdot\bigl(x^2+y^2\bigr)}{(x^2-y^2)^2} = 0 \\ \\ \frac{\partial z}{\partial \varphi} &=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \varphi}+ \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial \varphi}\\ \\ &=\frac{-2y(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot -r\sin\varphi+\frac{2x(x^2+y^2)}{(x^2-y^2)^2}\cdot r\cos(\varphi)\\ \\ &= \frac{\bigl(2ry\sin(\varphi)+2rx\cos(\varphi)\bigr)\bigl(x^2+y^2\bigr)}{(x^2-y^2)^2} \\ \\ &= \frac{\bigl(2r^2(\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)\bigr)r^2 }{(x^2-y^2)^2} = \frac{2r^4}{(x^2-y^2)^2} \\ \\ &= \frac{2r^4}{(r^2\bigl(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\bigr)^2} = \frac{2}{\cos^2(2\varphi)} \end{aligned}$ Veel formulemanipulatie, maar het voorbeeld laat ook zien dat sommige functies eenvoudiger zijn in een ander coördinatenstelsel dan waarin ze gedefinieerd zijn en dat berekeningen hierin dan ook simpeler zijn.

Je kunt de kettingregel bij poolcoördinaten ook als volgt formuleren:

Als $f(x,y)=f(r\cos(\varphi), r\sin(\varphi)$ dan is

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial r} &= \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial r}+ \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial r} = \phantom{-}\,\,\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\cos(\varphi)\;\,+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\sin(\varphi) \\ \\ \frac{\partial z}{\partial \varphi} &= \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial\varphi}+ \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial \varphi} = -\frac{\partial f}{\partial x}\cdot r\sin(\varphi)+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot r\cos(\varphi) \end{aligned}$

Voor functies van meer dan twee variabelen kunnen op soortgelijke manier kettingregels bepaald worden. Bijvoorbeeld geldt de volgende regel.

Als $w=w(x,y,z)$ een differentieerbare functie van drie variabelen is, en $x$ , $y$ , en $z$ differentieerbare functies van $t$ zijn, dan is $w$ een functie van $t$ en

$\frac{\dd w}{\dd t}=\frac{\partial w}{\partial x}\cdot\frac{\dd x}{\dd t}+ \frac{\partial w}{\partial y}\cdot\frac{\dd y}{\dd t}+\frac{\partial w}{\partial z}\cdot\frac{\dd z}{\dd t}$