Intermezzo: de vergelijking van een vlak We gaan de vergelijking van een raakvlak bepalen. Hiervoor is nodig dat je weet hoe een vergelijking van een vlak opgespoord kan worden als je twee richtingsvectoren van het vlak kent. In het algemeen heeft de vergelijking van een vlak de vorm $$ax+by+cz+d=0$$ met $a,b,c$ getallen die niet allemaal $0$ zijn en $d$ een vierde getal. Merk op dat de getallen $a$, $b$, $c$ en $d$ niet uniek zijn: elk veelvoud van het viertal beschrijft hetzelfde vlak in de driedimensionale ruimte. We moeten dus eigenlijk spreken van een vergelijking van een vlak. Het vlak met vergelijking $ax+by+cz+d=0$ is evenwijdig aan het vlak door de oorsprong gegeven door de vergelijking $$ax+by+cz=0$$ Deze vergelijking kun je ook schrijven als inproduct van twee vectoren, namelijk $$\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c\end{array}\right)\mathbf{\cdot} \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\end{array}\right) = 0$$ Met andere woorden, de vector beginnend in de oorsprong en eindigend op $(x,y,z)$ wijst naar een punt op het vlak door de oorsprong als deze vector loodrecht staat op de vector met componenten $a$, $b$ en $c$. Anders gezegd, de vector $\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c\end{array}\right)$ staat loodrecht op elke vector in het vlak. Dit heet een normaalvector van het vlak. Gegeven twee vectoren $\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right)$ en $\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right)$ die niet in elkaars verlengde liggen in een vlak door de oorsprong, kun je als normaalvector het uitproduct $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ van $\mathbf{a}$ en $\mathbf{b}$ (in deze volgorde!) nemen dat gedefinieerd is als $$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{array}\right)$$