Taylorbenaderingen

Functies van meer variabelen: Totale differentiaal en Taylorbenaderingen

Taylorbenaderingen

Bij een 'nette' functie $f(x)$ van één veranderlijke hebben we al gezien dat we deze rondom een punt $x=a$ kunnen benaderen met de raaklijn in dit punt gegeven door de vergelijking $y=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\tiny.$ Voor functies van twee variabelen kunnen we net zo'n lineaire benadering (ook wel eerste orde benadering genoemd) rondom een punt toepassen; in dit geval gebruiken we het raakvlak in het gekozen punt aan de grafiek van de gegeven functie.

Bij een 'nette' functie $f(x,y)$ van twee variabelen $x$ en $y$ kunnen we functiewaarden rondom het punt $(x,y)=(a,b)$ benaderen via het raakvlak in dit punt gegeven door de vergelijking $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\tiny.$

Bij functies $f(x)$ van één veranderlijke hebben we al gezien dat de lineaire benadering hetzelfde was als de Taylorveelterm van graad 1 en dat we preciezere benaderingen krijgen als we een Taylorveelterm van hogere graad nemen, bijvoorbeeld de volgende kwadratische benadering (tweede orde benadering): $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$ Voor functies van twee variabelen kunnen we net zo'n benadering van tweede orde nemen:

Bij een 'nette' functie $f(x,y)$ van twee variabelen $x$ en $y$ kunnen we functiewaarden rondom het punt $(x,y)=(a,b)$ benaderen via $\begin{aligned}f(x,y) &\approx f(a,b)+f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y\\ &\phantom{=}+ \frac{1}{2}\left(f_{xx}(a,b){\vartriangle}x^2+2f_{xy}(a,b){\vartriangle}x{\vartriangle}y+f_{yy}(a,b){\vartriangle}y^2\right)\end{aligned}$ met ${\vartriangle}x=x-a\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=y-b\tiny.$

We berekenen de kwadratische benadering rondom het punt $(1,1)$ van de functie $f(x,y)=x^2y-xy^2-3xy\tiny.$ De grafiek van de functie is

grafiek van de functie

De benodigde partiële afgeleiden zijn $f_x(x,y)=2xy-y^2-3y,\quad f_y(x,y)=x^2-2xy-3x,$ $f_{xx}(x,y)=2y,\quad f_{xy}(x,y)=2x-2y-3\quad\text{en}\quad f_{yy}(x,y)=-2x\tiny.$ Invullen van de coördinaten van het punt $(1,1)$ in de partiële afgeleiden en in de algemene formule voor de kwadratische benadering geeft $\begin{aligned}z(x,y) &= -3-2(x-1)-4(y-1)+(x-1)^2-3(x-1)(y-1)-(y-1)^2\\ \\ &= -x+y + x^2-3xy-y^2\end{aligned}$ De grafiek van deze benadering is

Taylorbenadering vvan orde 2

Samen in één figuur ziet het er uit als

functie + Taylorbenadering

In de buurt van $(1,1)$ verschillen de functie en de Taylorbenadering niet veel; verder weg wel.

De lineaire en kwadratische benaderingen van functies van twee variabelen zijn afkomstig van de Stelling van Taylor van eerste en tweede orde.

Bij een 'nette' functie $f(x,y)$ van twee variabelen $x$ en $y$ geldt rondom het punt $(x,y)=(a,b)$ met ${\vartriangle}x=x-a$ en ${\vartriangle}y=y-b$ : $f(x,y) = f(a,b)+f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y+R_1(x,y)$ met restterm $R_1(x,y)$ gegeven door $R_1(x,y)=\frac{1}{2!}\left(f_{xx}(\xi,\eta){\vartriangle}x^2+2f_{xy}(\xi,\eta){\vartriangle}x{\vartriangle}y+f_{yy}(\xi,\eta){\vartriangle}y^2\right)$ voor zekere $\xi$ tussen $a$ en $x$ , en zekere $\eta$ tussen $b$ en $y$ .

Bij een 'nette' functie $f(x,y)$ van twee variabelen $x$ en $y$ geldt rondom het punt $(x,y)=(a,b)$ met ${\vartriangle}x=x-a$ en ${\vartriangle}y=y-b$ : $\begin{aligned}f(x,y) &= f(a,b)\\ &\phantom{=}+f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y\\ &\phantom{=}+ \frac{1}{2!}\left(f_{xx}(a,b){\vartriangle}x^2+2f_{xy}(a,b){\vartriangle}x{\vartriangle}y+f_{yy}(a,b){\vartriangle}y^2\right)+R_2(x,y)\end{aligned}$ met restterm $R_2(x,y)$ gegeven door $\begin{aligned}R_2(x,y) &= \frac{1}{3!}\Bigl(f_{xxx}(\xi,\eta){\vartriangle}x^3+3f_{xxy}(\xi,\eta){\vartriangle}x^2{\vartriangle}y\\ &\phantom{=xxx} +3f_{xyy}(\xi,\eta){\vartriangle}x{\vartriangle}y^2 +f_{yyy}(\xi,\eta){\vartriangle}y^3\Bigr)\end{aligned}$ voor zekere $\xi$ tussen $a$ en $x$ , en zekere $\eta$ tussen $b$ en $y$ .

Je kunt nog verder gaan, maar we laten het hierbij. De Taylorreeks bij functies van twee variabelen ziet er als volgt uit:

Bij een 'nette' functie $f(x,y)$ van twee variabelen $x$ en $y$ kunnen we functiewaarden rondom het punt $(x,y)=(a,b)$ benaderen via $\begin{aligned}f(x,y) &= f(a,b)\\ &\phantom{=}+f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y\\ &\phantom{=}+ \frac{1}{2!}\left(f_{xx}(a,b){\vartriangle}x^2+2f_{xy}(a,b){\vartriangle}x{\vartriangle}y+f_{yy}(a,b){\vartriangle}y^2\right)\\ &\phantom{=}+ \frac{1}{3!}\Bigl(f_{xxx}(a,b){\vartriangle}x^3+3f_{xxy}(a,b){\vartriangle}x^2{\vartriangle}y\\ &\phantom{=xxxxx}+3f_{xyy}(a,b){\vartriangle}x{\vartriangle}y^2+f_{yyy}(a,b){\vartriangle}y^3\Bigl)\\ &\phantom{=}+\cdots\end{aligned}$ met ${\vartriangle}x=x-a\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=y-b\tiny.$