Stel \(x\) en \(y\) zijn twee grootheden die niet van elkaar afhangen en onafhankelijk gemeten worden, zeg met meetwaarden \(x_m\) en \(y_m\), en met meetfouten \({\vartriangle}x\) en \({\vartriangle}y\). Stel dat je een samengestelde grootheid \(z=x\cdot y\) nodig hebt. Wat zal de fout in \(z\) dan zijn? De linearisatie van \(z(x,y)\) speelt een rol bij het beantwoorden van deze vraag. Immers, \[\begin{aligned}z(x_m+{\vartriangle}x,y_m+{\vartriangle}y) &\approx z(x_m,y_m)+z_x(x_m,y_m){\vartriangle}x+z_y(x_m,y_m){\vartriangle}y\\ &=z(x_m,y_m)+y_m{\vartriangle}x+x_m{\vartriangle}y\end{aligned}\] Anders geformuleerd: \[\frac{{\vartriangle}z}{z(x_m,y_m)}=\frac{{\vartriangle} x}{x_m} +\frac{{\vartriangle} y}{y_m}\] Omdat niet het teken maar de groote van de fout van belang is, suggereert dit het volgende:

Bij vermenigvuldigen wordt de relatieve fout in de uitkomst de som van de relatieve fouten in de factoren.

\(\phantom{x}\)

Nu kijken we eens naar het quotiënt \(z(x,y)=\frac{x}{y}\) van grootheden. Nu geldt via de totale differentiaal: \[\begin{aligned}{\vartriangle}z(x_m,y_m)&\approx z_x(x_m,y_m){\vartriangle}x+z_y(x_m,y_m){\vartriangle}y\\ &=\frac{{\vartriangle}x}{y_m}-\frac{x_m{\vartriangle}y}{y_m^2}\\ &=\frac{x_m}{y_m}\left(\frac{{\vartriangle}x}{x_m}-\frac{{\vartriangle}y}{y_m}\right)\end{aligned}\] oftewel \[\frac{{\vartriangle}z}{z(x_m,y_m)}=\frac{{\vartriangle} x}{x_m} -\frac{{\vartriangle} y}{y_m}\] Omdat niet het teken maar de grootte van de fout van belang is, suggereert dit het volgende:

Bij delen wordt de relatieve fout in de uitkomst de som van de relatieve fouten in de teller en noemer.

\(\phantom{x}\)

We hebben tot nu toe geschreven dat de totale differentiaal de regels voor de doorwerking van fouten in formules suggereert. Dit komt omdat we geen rekening houden met het teken van fouten. Doen we dat wel dan ligt het voor de hand om kwadraten van afwijkingen te bestuderen. We kijken dan naar \((\vartriangle{z})^2\) en we gaan in bovenstaande twee gevallen over op het 'kwadratisch optellen' van relatieve fouten. Dit geeft: