Richtingsafgeleide

Functies van meer variabelen: Richtingsafgeleide en gradiënt

Richtingsafgeleide

De partiële afgeleide $f_x(a,b)$ van $f(x,y)$ is de afgeleide van $f(x,y)$ in $(a,b)$ in de richting van de positieve $x$ -as. Net zo is $f_y(a,b)$ de afgeleide van $f(x,y)$ in $(a,b)$ in de richting van de positieve $y$ -as. We kunnen ook in een willekeurige richting in het raakvlak aan de grafiek in $\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)$ kijken; als we dan een raakvector met lengte $1$ nemen, dan komen we uit op de volgende definitie.

De richtingsafgeleide van $f(x,y)$ in $(a,b)$ in de richting van $(a+{\vartriangle}x, b+{\vartriangle}y)$ is $\frac{f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y}{\sqrt{{\vartriangle}x^2+{\vartriangle}y^2}}$

Reken de richtingsafgeleide van de functie $f(x,y)=-y+x^2+2 x$ in $(-1,0)$ in de richting van $(-2,2)$ exact uit.

We berekenen eerst de partiële afgeleiden:
$f_x(x,y)=2 x+2\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=-1$
Dus in het gegeven punt: $f_x(-1,0)=0\qquad\text{en}\qquad f_y(-1,0)=-1$ De richting is van $(-1,0)$ naar $(-2,2)$ en dus ${\vartriangle}x=-1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=2$ De richtingsafgeleide van de functie $f$ in $(-1,0)$ in de richting van $(-2,2)$ is per definitie dan gelijk aan $\frac{0\times (-1)-1\times 2}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{-2}{\sqrt{5}}$

Nieuw voorbeeld