Functies van meer variabelen: Richtingsafgeleide en gradiënt
Richtingsafgeleide
De partiële afgeleide \(f_x(a,b)\) van \(f(x,y)\) is de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(x\)-as. Net zo is \(f_y(a,b)\) de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(y\)-as. We kunnen ook in een willekeurige richting in het raakvlak aan de grafiek in \(\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)\) kijken; als we dan een raakvector met lengte \(1\) nemen, dan komen we uit op de volgende definitie.
De richtingsafgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van \((a+{\vartriangle}x, b+{\vartriangle}y)\) is \[\frac{f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y}{\sqrt{{\vartriangle}x^2+{\vartriangle}y^2}}\]
Reken de richtingsafgeleide van de functie \[f(x,y)=x^2 y-3 x y-x^2\] in \((-1,-1)\) in de richting van \((-2,-3)\) exact uit.
We berekenen eerst de partiële afgeleiden:
\[f_x(x,y)=2 x y-3 y-2 x\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=x^2-3 x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(-1,-1)=7\qquad\text{en}\qquad f_y(-1,-1)=4\] De richting is van \((-1,-1)\) naar \((-2,-3)\) en dus \[{\vartriangle}x=-1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=-2\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((-1,-1)\) in de richting van \((-2,-3)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{7\times (-1)+4\times (-2)}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{-15}{\sqrt{5}}=-3\cdot \sqrt{5}\]
\[f_x(x,y)=2 x y-3 y-2 x\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=x^2-3 x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(-1,-1)=7\qquad\text{en}\qquad f_y(-1,-1)=4\] De richting is van \((-1,-1)\) naar \((-2,-3)\) en dus \[{\vartriangle}x=-1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=-2\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((-1,-1)\) in de richting van \((-2,-3)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{7\times (-1)+4\times (-2)}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}}=\frac{-15}{\sqrt{5}}=-3\cdot \sqrt{5}\]
Ontgrendel volledige toegang
