Functies van meer variabelen: Richtingsafgeleide en gradiënt
Richtingsafgeleide
De partiële afgeleide \(f_x(a,b)\) van \(f(x,y)\) is de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(x\)-as. Net zo is \(f_y(a,b)\) de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(y\)-as. We kunnen ook in een willekeurige richting in het raakvlak aan de grafiek in \(\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)\) kijken; als we dan een raakvector met lengte \(1\) nemen, dan komen we uit op de volgende definitie.
De richtingsafgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van \((a+{\vartriangle}x, b+{\vartriangle}y)\) is \[\frac{f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y}{\sqrt{{\vartriangle}x^2+{\vartriangle}y^2}}\]
Reken de richtingsafgeleide van de functie \[f(x,y)=x y^2-y^2+2 x y\] in \((-1,-1)\) in de richting van \((-2,-1)\) exact uit.
We berekenen eerst de partiële afgeleiden:
\[f_x(x,y)=y^2+2 y\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=2 x y-2 y+2 x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(-1,-1)=-1\qquad\text{en}\qquad f_y(-1,-1)=2\] De richting is van \((-1,-1)\) naar \((-2,-1)\) en dus \[{\vartriangle}x=-1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=0\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((-1,-1)\) in de richting van \((-2,-1)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{-1\times (-1)+2\times 0}{\sqrt{(-1)^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\]
\[f_x(x,y)=y^2+2 y\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=2 x y-2 y+2 x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(-1,-1)=-1\qquad\text{en}\qquad f_y(-1,-1)=2\] De richting is van \((-1,-1)\) naar \((-2,-1)\) en dus \[{\vartriangle}x=-1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=0\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((-1,-1)\) in de richting van \((-2,-1)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{-1\times (-1)+2\times 0}{\sqrt{(-1)^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\]
Ontgrendel volledige toegang
