Functies van meer variabelen: Richtingsafgeleide en gradiënt
Richtingsafgeleide
De partiële afgeleide \(f_x(a,b)\) van \(f(x,y)\) is de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(x\)-as. Net zo is \(f_y(a,b)\) de afgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van de positieve \(y\)-as. We kunnen ook in een willekeurige richting in het raakvlak aan de grafiek in \(\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)\) kijken; als we dan een raakvector met lengte \(1\) nemen, dan komen we uit op de volgende definitie.
De richtingsafgeleide van \(f(x,y)\) in \((a,b)\) in de richting van \((a+{\vartriangle}x, b+{\vartriangle}y)\) is \[\frac{f_x(a,b){\vartriangle}x+f_y(a,b){\vartriangle}y}{\sqrt{{\vartriangle}x^2+{\vartriangle}y^2}}\]
Reken de richtingsafgeleide van de functie \[f(x,y)=x y^2+2 y^2+4 x y\] in \((1,0)\) in de richting van \((2,-1)\) exact uit.
We berekenen eerst de partiële afgeleiden:
\[f_x(x,y)=y^2+4 y\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=2 x y+4 y+4 x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(1,0)=0\qquad\text{en}\qquad f_y(1,0)=4\] De richting is van \((1,0)\) naar \((2,-1)\) en dus \[{\vartriangle}x=1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=-1\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((1,0)\) in de richting van \((2,-1)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{0\times 1+4\times (-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{-4}{\sqrt{2}}=-2^{{{3}\over{2}}}\]
\[f_x(x,y)=y^2+4 y\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=2 x y+4 y+4 x\]
Dus in het gegeven punt: \[f_x(1,0)=0\qquad\text{en}\qquad f_y(1,0)=4\] De richting is van \((1,0)\) naar \((2,-1)\) en dus \[{\vartriangle}x=1\quad\text{en}\quad {\vartriangle}y=-1\] De richtingsafgeleide van de functie \(f\) in \((1,0)\) in de richting van \((2,-1)\) is per definitie dan gelijk aan \[\frac{0\times 1+4\times (-1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{-4}{\sqrt{2}}=-2^{{{3}\over{2}}}\]
Ontgrendel volledige toegang
