Functies van meer variabelen: Stationaire punten
Stationaire punten
Een punt \((a,b)\) is een stationair punt van de functie \(f(x,y)\) als de gradiënt \(\nabla f\) in dat punt de nulvector is. Dit betekent dat alle partiële afgeleiden in dit punt gelijk aan nul zijn en het raakvlak aan de grafiek in \(\bigl(a,b,f(a,b)\bigr)\) horizontaal is.
Stationaire punten kun je dus vinden door het volgende stelsel van vergelijkingen op te lossen: \[\left\{\begin{array}{c} f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0\end{array}\right.\]
Er is dus één stationair punt: \((-3,3)\).
Bereken de stationaire punten van de functie \[f(x,y)=3x^2y+xy^2-3xy\] De partiële afgeleiden zijn \[f_x(x,y)=6xy+y^2-3y\qquad\text{en}\qquad 3x^2+2xy-3x\] De stationaire punten zijn dus de oplossingen van het stelsel vergelijkingen \[\left\{\begin{aligned} 6xy+\phantom{2}y^2-3y&=0\\ 3x^2+2xy-3x&=0\end{aligned}\right.\] We splitsen dit probleem op in deelproblemen door de linkerleden van de vergelijkingen te ontbinden in factoren. We vinden: \[\left\{\begin{aligned} y(6x+\phantom{2}y-3)&=0\\ x(3x+2y-3)&=0\end{aligned}\right.\] We kunnen dus kennelijk \(f_x(x,y)\) en \(f_y(x,y)\) elk op twee manieren gelijk aan nul krijgen. Combinatie van mogelijkheden geeft vier oplossing:
- \(\left\{\begin{aligned} x&=0\\ y&=0\end{aligned}\right.\)
- \(\left\{\begin{aligned} 3x+2y-3&=0\\ y&=0\end{aligned}\right. \quad \implies \quad\)\(\left\{\begin{aligned} x&=1\\ y&=0\end{aligned}\right.\)
- \(\left\{\begin{aligned} x&=0\\ 6x+y-3&=0\end{aligned}\right.\quad \implies\)\(\quad \left\{\begin{aligned} x&=0\\ y&=3\end{aligned}\right.\)
- \(\left\{\begin{aligned} 6x+\phantom{2}y-3&=0\\ 3x+2y-3&=0\end{aligned}\right.\quad \implies\)\(\quad \left\{\begin{aligned} -3y+3&=0\\ 3x+2y-3&=0\end{aligned}\right.\quad \implies\)\(\quad \left\{\begin{aligned} x&=\frac{1}{3}\\ y&=1\end{aligned}\right.\)
Er zijn dus vier stationaire punten: \((0,0)\), \((1,0)\), \((0,3)\) en \((\tfrac{1}{3},1)\).
