Maar net als bij functies van één veranderlijke is voor differentieerbare functies van twee variabelen de eis dat een punt een stationair punt is noodzakelijk maar niet voldoende om een punt tot maximum of minimum uit te roepen. We geven een tegenvoorbeeld.

Tot nu toe waren stationaire punten steeds één of meer losse punten. Maar dit hoeft niet zo te zijn. Als voorbeeld nemen we de functie $$f(x,y)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\sin(2x^2-y-1)\bigr)$$ Deze functie heeft als partiële afgeleiden: $$f_x(x,y)=-2x\cos(2x^2-y-1)\qquad\text{en}\qquad f_y(x,y)=\tfrac{1}{2}\cos(2x^2-y-1)$$ De gradiënt is de nulvector in alle punten $(x,y)$ waarvoor geldt $$\cos(2x^2-y-1)=0$$ De stationaire punten zijn in dit geval geen geïsoleerde punten, maar punten die krommen vormen, namelijk de parabolen $$2x^2-y-1=\tfrac{1}{2}\pi +k\pi\qquad\text{met geheel getal }k$$ Een van deze parabolen is $$y=2x^2-1-\tfrac{1}{2}\pi$$ die hoort bij de niveaukromme op hoogte $1$ en deze kromme is in onderstaande grafiek dikker getekend. In alle punten van die parabool bereikt de functie een maximale waarde. Het bijbehorende raakvlak is het vlak $z=1$, het bovenvlak van de kubus die eromheen is getekend.