Functies van meer variabelen: De multiplicatorenregel van Lagrange
De multiplicatorenregel van Lagrange (voorbeelden)
Vaak wil je extreme waarden vinden onder nevenvoorwaarden. De multiplicatorenregel van Lagrange kan dan uitkomst bieden. We behandelen eerst voorbeelden.
We bespreken twee methoden:
1. Directe methode
In de nevenvoorwaarde kunnen we \(y\) isoleren: \[y=3x+1\text.\] Substitutie in \(F(x,y)=f(x,y)^2\) geeft de formule \[x^2+\left(3x+1\right)^2\text.\] Deze dalparabool heeft een minimum in \(x\) die voldoet aan \[2x+2\cdot \left(3x+1\right)\cdot 3=0\] oftewel \[20x+6=0\text.\] Dus: \[x=-{{3}\over{10}}\text.\] De waarde van \(y\) volgt door de nevenvoorwaarde opgeschreven als \[y=3x+1\] en is dus gelijk aan \[y=3\cdot -{{3}\over{10}}+1={{1}\over{10}}\text.\] Voor de gevonden waarden van \(x\) en \(y\) is \(f(x,y)\) minimaal en gelijk aan \[\sqrt{\left(-{{3}\over{10}}\right)^2+\left({{1}\over{10}}\right)^2}=\frac{1}{10}\sqrt{10}\text.\]2. Multiplicatorenregel van Lagrange
Het vinden van het minimum van \[F(x,y)=x^2+y^2\] onder de voorwaarde dat \[G(x,y)=0\] met \[G(x,y)=-3x+y-1\] gebeurt in de multiplicatorenregel van Lagrange door het stationaire punt van de functie \[H(x,y,\lambda) = F(x,y) + \lambda \cdot G(x,y)\] in de drie variabelen \(x\), \(y\) en \(\lambda\) te bepalen. Je moet dan het volgende stelsel van vergelijkingen in de drie variabelen oplossen: \[\left\{\frac{\partial H}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial \lambda}=0\right\}\text.\] In dit concrete geval is \[H(x,y,\lambda) = x^2+y^2 +\lambda\left(-3x+y-1\right) \] en is het stelsel gelijk aan \[\left\{ 2 x-3 \lambda=0 ,\quad \lambda+2 y=0 ,\quad -3 x+y
-1=0 \right\}\] De oplossing van dit stelsel is \[\left\{ x=-{{3}\over{10}} ,\quad y={{1}\over{10}} ,\quad \lambda=-{{1
}\over{5}} \right\}\] Opnieuw vinden we dezelfde waarden voor \(x\) en \(y\) waarbij \(F(x,y)\) onder de gegeven nevenvoorwaarde minimaal is. Op deze manier vind je dus ook de waarden van \(x\) en \(y\) waarbij \(f(x,y)\) minimaal is; deze minimale waarde is gelijk aan \[\sqrt{\left(-{{3}\over{10}}\right)^2+\left({{1}\over{10}}\right)^2}=\frac{1}{10}\sqrt{10}\text.\]
De multiplicatorenregel van Lagrange valt hierboven uit de lucht, maar je kunt deze methode als volgt beter begrijpen.
De conditie \(G(x,y)=0\) is een vergelijking van een rechte lijn. We kunnen nu naar contourkrommen van de functie \(F\) kijken: dit zijn cirkels met de oorsprong als centrum. Als een contourkromme de lijn snijdt en niet raakt, dan kan de bijpassende niveauwaarde van \(F\) geen extremum zijn want met een iets grotere of iets kleinere waarde doorsnijdt de niveaukrommede rechte lijn \(G(x,y)=0\) ook. Een extremum (in dit geval een minimum) kan alleen optreden als de lijn en een contourkromme elkaar raken. Maar dit betekent dat we een punt \((a,b)\) moeten zoeken waarvoor \(F(a,b)=G(a,b)\) en de gradiënt van \(F\) en de gradient van \(G\) uitgerekend in dat punt een veelvoud van elkaar zijn. De eisen \[F(a,b)=G(a,b)\qquad\text{en}\qquad {\nabla}F(a,b)= -\lambda\cdot {\nabla}G(a,b)\quad\text{voor zeker getal }\lambda\small,\] voor het vinden van het punt \((a,b)\) stemmen overeen met de taak om de vergelijkingen \[\left\{\frac{\partial H}{\partial \lambda}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial y}=0\right\}\] voor \[H(x,y,\lambda) = F(x,y) + \lambda \cdot G(x,y)\] op te lossen, De extreme waarde is dan gelijk aan \(F(a,b)\) voor de oplossing \((a,b)\) van het stelsel van vergelijkingen.
