De vraag is hetzelfde als de vraag naar het minimum van de functie $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ onder de nevenvoorwaarde $$2x+4y+2=0\text.$$ Ook kunnen we net zo goed de wortel van het minimum van de functie $F=f^2$ onder de gegeven nevenvoorwaarde bepalen. Dit is gemakkelijker omdat we in eerste instantie verlost zijn van het wortelteken.

We bespreken twee methoden:

1. Directe methode

In de nevenvoorwaarde kunnen we $y$ isoleren: $$y=-{{1}\over{2}}x-{{1}\over{2}}\text.$$ Substitutie in $F(x,y)=f(x,y)^2$ geeft de formule $$x^2+\left(-{{1}\over{2}}x-{{1}\over{2}}\right)^2\text.$$ Deze dalparabool heeft een minimum in $x$ die voldoet aan $$2x+2\cdot \left(-{{1}\over{2}}x-{{1}\over{2}}\right)\cdot -{{1}\over{2}}=0$$ oftewel $${{5}\over{2}}x+{{1}\over{2}}=0\text.$$ Dus: $$x=-{{1}\over{5}}\text.$$ De waarde van $y$ volgt door de nevenvoorwaarde opgeschreven als $$y=-{{1}\over{2}}x-{{1}\over{2}}$$ en is dus gelijk aan $$y=-{{1}\over{2}}\cdot -{{1}\over{5}}-{{1}\over{2}}=-{{2}\over{5}}\text.$$ Voor de gevonden waarden van $x$ en $y$ is $f(x,y)$ minimaal en gelijk aan $$\sqrt{\left(-{{1}\over{5}}\right)^2+\left(-{{2}\over{5}}\right)^2}=\frac{1}{5}\sqrt{5}\text.$$

2. Multiplicatorenregel van Lagrange

Het vinden van het minimum van

$$F(x,y)=x^2+y^2$$ onder de voorwaarde dat $$G(x,y)=0$$ met $$G(x,y)=2x+4y+2$$ gebeurt in de multiplicatorenregel van Lagrange door het stationaire punt van de functie $$H(x,y,\lambda) = F(x,y) + \lambda \cdot G(x,y)$$ in de drie variabelen $x$, $y$ en $\lambda$ te bepalen. Je moet dan het volgende stelsel van vergelijkingen in de drie variabelen oplossen: $$\left\{\frac{\partial H}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial \lambda}=0\right\}\text.$$ In dit concrete geval is $$H(x,y,\lambda) = x^2+y^2 +\lambda\left(2x+4y+2\right)$$ en is het stelsel gelijk aan $$\left\{ 2 \lambda+2 x=0 ,\quad 4 \lambda+2 y=0 ,\quad 2 x+4 y+2=0 \right\}$$ De oplossing van dit stelsel is $$\left\{ x=-{{1}\over{5}} ,\quad y=-{{2}\over{5}} ,\quad \lambda={{1 }\over{5}} \right\}$$ Opnieuw vinden we dezelfde waarden voor $x$ en $y$ waarbij $F(x,y)$ onder de gegeven nevenvoorwaarde minimaal is. Op deze manier vind je dus ook de waarden van $x$ en $y$ waarbij $f(x,y)$ minimaal is; deze minimale waarde is gelijk aan $$\sqrt{\left(-{{1}\over{5}}\right)^2+\left(-{{2}\over{5}}\right)^2}=\frac{1}{5}\sqrt{5}\text.$$

De multiplicatorenregel van Lagrange valt hierboven uit de lucht, maar je kunt deze methode als volgt beter begrijpen.

De conditie $G(x,y)=0$ is een vergelijking van een rechte lijn. We kunnen nu naar contourkrommen van de functie $F$ kijken: dit zijn cirkels met de oorsprong als centrum. Als een contourkromme de lijn snijdt en niet raakt, dan kan de bijpassende niveauwaarde van $F$ geen extremum zijn want met een iets grotere of iets kleinere waarde doorsnijdt de niveaukrommede rechte lijn $G(x,y)=0$ ook. Een extremum (in dit geval een minimum) kan alleen optreden als de lijn en een contourkromme elkaar raken. Maar dit betekent dat we een punt $(a,b)$ moeten zoeken waarvoor $F(a,b)=G(a,b)$ en de gradiënt van $F$ en de gradient van $G$ uitgerekend in dat punt een veelvoud van elkaar zijn. De eisen

$$F(a,b)=G(a,b)\qquad\text{en}\qquad {\nabla}F(a,b)= -\lambda\cdot {\nabla}G(a,b)\quad\text{voor zeker getal }\lambda\small,$$ voor het vinden van het punt $(a,b)$ stemmen overeen met de taak om de vergelijkingen $$\left\{\frac{\partial H}{\partial \lambda}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial H}{\partial y}=0\right\}$$ voor $$H(x,y,\lambda) = F(x,y) + \lambda \cdot G(x,y)$$ op te lossen, De extreme waarde is dan gelijk aan $F(a,b)$ voor de oplossing $(a,b)$ van het stelsel van vergelijkingen.