Functies van meer variabelen: De multiplicatorenregel van Lagrange
De multiplicatorenregel van Lagrange (algemeen)
In het algemeen kun je een extreme waarde van een functie van meer variabelen onder één of meer nevenvoorwaarden opsporen volgens onderstaande methode.
Multiplicatorenregel van Lagrange Extreme waarden van de functie \[f(x_1,\ldots,x_n)\] in \(n\) variabelen \(x_1,\ldots,x_n\) onder de nevenvoorwaarden \[g_k(x_1,\ldots,x_n)=0\] met \(k=1,\ldots,m,\) kunnen berekend worden door de stationaire punten op te sporen van de functie \[h = f+\lambda_1\cdot g_1+\cdots+\lambda_m\cdot g_m\text.\] Met andere woorden, je moet de oplossingen in \(x_1,\ldots,x_n, \lambda_1,\ldots,\lambda_m\) vinden voor het volgende stelsel van \(n+m\) vergelijkingen\[\left\{\begin{aligned}\frac{\partial h}{\partial x_i} &=0,\quad\text{voor } i=1,\ldots, n\\ \\ \frac{\partial h}{\partial \lambda_j} &=0,\quad\text{voor } j=1,\ldots, m\end{aligned}\right.\] De laatste vergelijkingen zijn natuurlijk niets anders dan de \(m\) nevenvoorwaarden.
We stellen de vergelijkingen op waaraan de stationaire punten moeten voldoen: \[\left\{\begin{aligned}0&=\frac{\partial h}{\partial x} = 2x+\lambda(34x+12y)\\ \\ 0&=\frac{\partial h}{\partial y} = 2y+\lambda(12x+16y)\\ \\ 0 &= \frac{\partial h}{\partial \lambda} = 17x^2+12xy+8y^2-100\end{aligned}\right.\] We kunnen in de eerste twee vergelijkingen de variabele \(\lambda\) isoleren en de twee uitdrukkingen voor \(\lambda\) aan elkaar gelijkstellen; dit levert \[\frac{-2x}{34x+12y}=\frac{-2y}{12x+16y}\text.\] Maar dan: \[-2x(12x+16y)=-2y(34x+12y)\text.\] Dit is te herleiden tot \[2x^2-3xy-2y^2=0\text.\] Als we de linker- en rechterkant van deze vergelijking vermenigvuldigen met \(4\) en optellen bij de derde vergelijking uit ons bovenstaand stelsel (de nevenvoorwaarde) dan krijgen we \[25x^2=100\] oftewel \[x=\pm2\text.\] Substitutie van elk van deze waarden in de vergelijking \(2x^2-3xy-2y^2=0\) levert steeds een tweedegraadsvergelijking in \(y\) op:
Voor \(x=2\):\(\phantom{-}\) \(\quad y^2+3y-4=0\) oftewel \((y-1)(y+4)=0\).
Voor \(x=-2\): \(\quad y^2+3y-4=0\) oftewel \((y+1)(y-4)=0\).
Er zijn dus vier punten: \((2,1)\) en \((-2,-1)\) liggen het dichtst bij de oorsprong, en \((2,-4)\) en \((-2,4)\) liggen het verst weg van de oorsprong.
