Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen
Een kwalitatief faseportret
We gaan nog zien hoe we m.b.v. wiskundige software of interactieve computersimulaties een faseportret en oplossingskrommen kunnen tekenen. Maar je kunt ook een kwalitatieve analyse uitvoeren waarin je alleen maar schetst in welke richting een oplossingskromme in een punt in het fasevlak grofweg zou lopen.
Als voorbeeld bekijken we het stelsel
In onderstaand diagram hebben we weer de nul-isoclienen getekend maar geen oplossingskrommen. In plaats hiervan hebben we met pijlen alleen maar de richtingen aangegeven waarin een oplossingskromme in een punt zou gaan qua - en -verandering. De resultante vectoren geeft het richtingsveld.
Laten we in meer detail naar bovenstaand diagram met separate - en -richtingen kijken, en niet naar resultante vectoren, dan zijn er vier gevallen te onderscheiden.
De vier gevallen zijn:
- en stijgen allebei
- daalt en stijgt
- stijgt en daalt
- en dalen allebei
De eerste twee gevallen I en II worden gescheiden door de -nul-isoclienen en de gevallen I en III worden gescheiden door de -nul-isoclienen. Maar de -nul-isoclienen scheiden ook gevallen III en IV. Evenzo scheiden de -nul-isoclienen ook gevallen II en IV.
Verder geldt dat de richting op de lijn van -nul-isoclienen verticaal is en op de lijn van -nul-isoclienen horizontaal is.
Tot slot merken we nog op dat alle richtingen in het diagram gericht zijn op het evenwicht : alle oplossing lopen dus richting de oorsprong. Met andere woorden: is een aantrekkend evenwicht in dit voorbeeld.