Lineaire algebra aanpak van het oplossen van lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen

Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen

Lineaire algebra aanpak van het oplossen van lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen

We kijken opnieuw naar een tweetal gekoppelde homogene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten van de vorm

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= a\, x+ b\, y\\[0.25cm] \frac{\dd y}{\dd t} &= c\, x + d\, y\end{aligned}\right.$ en schrijven dit in de matrix-vector vorm

$\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\y}=\matrix{a & b\\ c & d}\cv{x\\y }$ De matrix

$A=\matrix{a & b\\ c & d}$ beschrijft eigenlijk het lineaire stelsel van differentiaalvergelijkingen.

Beginwaardeprobleem Een beginwaardeprobleem ziet er dan als volgt uit:

$\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\y}=A\cv{x\\y }, \quad \cv{x(0)\\y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$

We bespreken nu hoe lineaire algebra ons helpt om dit lineaire stelsel van differentiaalvergelijkingen op te lossen.

Stel $\vec{v}$ is een willekeurig gekozen twee-dimensionale vector en $\lambda$ een willekeurig reëel getal en probeer een oplossing van de vorm

$\cv{x(t)\\y(t)} = e^{\lambda t}\,\vec{v}$ Substitutie in de matrix-vector vorm van het lineaire stelsel van differentiaalvergelijkingen levert

$\lambda\,e^{\lambda t}\,\vec{v}=e^{\lambda t}\,A\vec{v}$ Je moet hierbij bedenken dat voor de matrixvermenigvuldiging $e^{\lambda t}$ een constante is, terwijl voor het nemen van afgeleiden $e^{\lambda t}$ het enige is dat van $t$ afhangt. We vinden dat $\vec{v}$ en $\lambda$ moeten voldoen aan

$A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ Met andere woorden $\vec{v}$ moet een eigenvector bij eigenwaarde $\lambda$ zijn.

Als de matrix $A$ twee verschillende reële eigenwaarden $\lambda_1$ en $\lambda_2$ heeft met respectievelijk bijbehorende eigenvectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ , dan is de algemene oplossing van het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen

$\cv{x(t)\\y(t)} =c_1 e^{\lambda_1 t}\,\vec{v} + c_2e^{\lambda_2 t}\,\vec{w}, \quad\text{met }c_1,c_2\in \mathbb{R}$

Bij iedere $\cv{x_0\\y_0}\in\mathbb{R}^2$ zijn er precies twee getallen $c_1$ en $c_2$ te vinden zodanig dat $\cv{x(0)\\y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$ . Dit garandeert de existentie en uniciteit van de oplossing van het beginwaardeprobleem.

Bij iedere keuze van $\cv{x_0\\y_0}$ is er een oplossingskromme $t\mapsto \cv{x(t)\\y(t)}$ in het fasevlak te tekenen. Twee dergelijke krommen vallen of samen, of snijden elkaar niet.

Eén oplossing springt in het oog, namelijk $\cv{x(t)\\y(t)}=\cv{0\\0}$ , die je krijgt door $c_1$ en $c_2$ gelijk aan nul te nemen. Dit is de enige oplossing van het stelsel die niet afhangt van de onafhankelijke variabele $t$ . Wanneer we deze variabele als tijd interpreteren, dan hebben we een tijdsonafhankelijke oplossing. De baan is een kromme die alleen uit een punt bestaat. Dit is een vast punt of evenwicht van het stelsel. Dit kan een aantrekkend of afstotend evenwicht zijn, of wat anders zoals een semistabiel evenwicht. Hierbij kijken we vooral wat er gebeurt als we beginwaarde in de buurt van een evenwicht $(0,0)$ kiezen. De vraag is dan of de oplossingskromme in de buurt van $(0,0)$ blijft als de tijd verstrijkt of daar we er vandaan bewegen. In de volgende paragrafen zullen we zien dat de eigenwaarden en eigenvectoren van de matrix $A$ hierbij een cruciale rol spelen.