Twee verschillende reële eigenwaarden

Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen

Twee verschillende reële eigenwaarden

We bekijken de situatie dat er twee verschillende reële eigenwaarden $\lambda_1$ en $\lambda_2$ zijn van de ( $2\times 2$ )-matrix $A$ die bij het stelsel $\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y}$ past. Er zijn 3 gevallen te onderscheiden:

Twee positieve eigenwaarden: $0<\lambda_1<\lambda_2$ .
Twee negatieve eigenwaarden: $\lambda_1<\lambda_2<0$ .
Één positieve en één negatieve eigenwaarde $\lambda_1<0<\lambda_2$ .

In elk van deze drie gevallen is de stabiliteit van het evenwicht $(0,0)$ anders. We geven steeds een voorbeeld.

Stel $\lambda_1$ en $\lambda_2$ zijn positieve eigenwaarden, zeg $0<\lambda_1<\lambda_2$ , met bijpassende eigenvectoren $\vec{v}_1$ en $\vec{v}_2$ . In dit geval is $(0,0)$ een afstotend evenwicht.

Als voorbeeld bekijken we het stelsel

$\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y},\quad \text{met }A=\matrix{1 & 2\\ 0 & 3}\text.$ Eigenwaarden en eigenvectoren van $A$ zijn

$\lambda_1=1\text{ bij }\vec{v}_1=\cv{1\\0}\quad\text{en}\quad\lambda_2=3\text{ bij }\vec{v}_2=\cv{1\\1}\text.$ De oplossing is dus

$\cv{x\\y}=c_1e^{t}\vec{v}_1+ c_2e^{3t}\vec{v}_2$ waarbij $c_1$ en $c_2$ zo gekozen worden dat $\cv{x(0)\\ y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$ Als $c_2\neq 0$ dan kunnen we de oplossing schrijven als $\cv{x\\y}= c_2e^{3t}\left(\vec{v}_2+ \frac{c_1}{c_2}e^{-2t}\vec{v}_1\right)$ en gaat de oplossingkromme voor grote $t$ steeds dichter bij de lijn door steunpunt met richtingsvector $\vec{v}_2$ komen.

In onderstaande figuur, het faseportret genoemd, zijn enkele oplossingskrommen getekend die allemaal vanuit de omgeving van de oorsprong vertrekken. Tevens hebben we het vectorveld horende bij het 2-dimensionale stelsel differentiaalvergelijkingen getekend. Bij elk punt $(x,y)$ in het faseportret kunnen we namelijk de vector $\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\y}= \cv{x'\\y'}$ berekenen en tekenen in het vlak. Hieronder is dat voor punten op een regelmatig rooster gedaan. De vectoren geven een indruk hoe de banen zullen lopen; in dit geval steeds verder weg van de oorsprong.

Stel $\lambda_1$ en $\lambda_2$ zijn negatieve eigenwaarden, zeg $\lambda_1<\lambda_2<0$ , met bijpassende eigenvectoren $\vec{v}_1$ en $\vec{v}_2$ . In dit geval is $(0,0)$ een aantrekkend evenwicht. De banen zijn net als in bovenstaande figuur, maar de oplossingen lopen nu naar de oorsprong toe.

Als voorbeeld bekijken we het stelsel

$\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y},\quad \text{met }A=\matrix{-3 & 0\\ 0 & -7}\text.$ Het bijpassende faseportret ziet er als volgt uit:

Stel $\lambda_1$ en $\lambda_2$ zijn eigenwaarden met $\lambda_1<0<\lambda_2$ , met bijpassende eigenvectoren $\vec{v}_1$ en $\vec{v}_2$ . In dit geval is $(0,0)$ semistabiel en in het bijzonder een zadelpunt. Nemen we een beginwaarde op de rechte lijn door de oorsprong met richtingsvector $\vec{v}_1$ , dan gaat de bijpassende oplossing naar de oorsprong toe. Voor andere beginwaarden gaan de oplossingen van de oorsprong vandaan; meer in het bijzonder komen oplossing steeds dichter bij de lijn door de oorsprong met richtingsvector $\vec{v}_2$ te liggen.

Als voorbeeld bekijken we het stelsel

$\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y},\quad \text{met }A=\matrix{-1 & 2\\ 0 & 1}\text.$ Eigenwaarden en eigenvectoren van $A$ zijn

$\lambda_1=-1\text{ bij }\vec{v}_1=\cv{1\\0}\quad\text{en}\quad\lambda_2=1\text{ bij }\vec{v}_2=\cv{1\\1}\text.$ De oplossing is dus

$\cv{x\\y}=c_1e^{-t}\vec{v}_1+ c_2e^{t}\vec{v}_2$ waarbij $c_1$ en $c_2$ zo gekozen worden dat $\cv{x(0)\\ y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$ Als $c_2\neq 0$ dan kunnen we de oplossing schrijven als $\cv{x\\y}= c_2e^{t}\left(\vec{v}_2+ \frac{c_1}{c_2}e^{-2t}\vec{v}_1\right)$ en gaat de oplossingkromme voor grote $t$ steeds dichter bij de lijn door de oorsprong met richtingsvector $\vec{v}_2$ komen. In onderstaand faseportret zijn enkele oplossingskrommen getekend.