Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen
Faseportret tekenen in MATLAB
In de vorige theorieblokken hebben we het faseportret van een lineair stelsel van twee differentiaalvergelijkingen geïntroduceerd en voor reële eigenwaarden verschillende faseportretten getekend. Met de hand is het veel werk, maar met wiskundige software is dit goed te doen. In MATLAB teken je bijvoorbeeld met de quiver functie het vectorveld (al dan niet met geschaalde vectoren) en met de streamline functie kun je oplossingskrommen laten tekenen vanuit gegeven startpunten. Onderstaande voorbeelden illustreren dit.
Twee positieve eigenwaarden \[\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= x+ 2 y\\[0.25cm] \frac{\dd y}{\dd t} &= 3y\end{aligned}\right.\]
>> [x,y] = meshgrid(-1.5:0.2:1.5, -1.5:0.2:1.5);
>> dxdt = x + 2*y;
>> dydt = 3*y;
>> figure
>> quiver(x, y, dxdt, dydt), axis tight % teken vectorveld
>> % specificeer startpunten
>> startx = [-0.2, -0.1, -0.05, -0.001, -0.001, 0.001, 0.001, 0.05, 0.1, 0.2];
>> starty = [ 0.001, 0.001, 0.001, 0, -0.001, 0.001, 0, -0.001, -0.001, -0.001];
>> set(groot,'defaultLineLineWidth',2) % verander default lijnbreedte
>> streamline(x ,y, dxdt, dydt, startx, starty) % teken oplossingen
Twee negatieve eigenwaarden \[\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= -2x-y\\[0.25cm] \frac{\dd y}{\dd t} &= -x - 2y\end{aligned}\right.\]
>> [x,y] = meshgrid(-1.5:0.2:1.5, -1.5:0.2:1.5);
>> dxdt = -2*x - y;
>> dydt = -x - 2*y;
>> figure
>> quiver(x, y, dxdt, dydt), axis tight % teken vectorveld
>> % specificeer startpunten
>> startx = [-2, -1, 0, 1, 2, -2, -1, 0, 1, 2, -2, 2];
>> starty = [-2, -2, -2, -2, -2, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 0];
>> set(groot,'defaultLineLineWidth',2) % verander default lijnbreedte
>> streamline(x ,y, dxdt, dydt, startx, starty) % teken oplossingen
Een positieve en een negatieve eigenwaarde \[\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= -x-y\\[0.25cm] \frac{\dd y}{\dd t} &= -2x - y\end{aligned}\right.\]
>> [x,y] = meshgrid(-2:0.2:2, -2:0.2:2);
>> dxdt = -x - y;
>> dydt = -2*x - y;
>> figure
>> quiver(x, y, dxdt, dydt), axis tight % teken vectorveld
>> % specificeer startpunten
>> startx = [-2, -1.5, -1, -0.5, 0, -2, -2, -2, -2, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2, 2, 2, 2];
>> starty = [-2, -2, -2, -2, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 1.5, 1. 0.5, 0];
>> set(groot,'defaultLineLineWidth',2) % verander default lijnbreedte
>> streamline(x ,y, dxdt, dydt, startx, starty) % teken oplossingen
