Eén reële eigenwaarde

Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen

Eén reële eigenwaarde

We bekijken de situatie dat er één reële eigenwaarde $\lambda$ is van de ( $2\times 2$ )-matrix $A$ die bij het stelsel $\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y}$ past. Er zijn 2 gevallen te onderscheiden:

De eigenruimte is 2-dimensionaal, dat wil zegger, er zijn twee eigenvectoren die geen veelvoud van elkaar zijn.
De eigenruimte is 1-dimensionaal, dat wil zegger, eigenvectoren liggen op één lijn.

In elk van deze twee gevallen is de stabiliteit van het evenwicht $(0,0)$ anders. We geven steeds een voorbeeld.

Stel $\lambda$ is een eigenwaarde met bijpassende eigenvectoren $\vec{v}_1$ en $\vec{v}_2$ , die geen veelvoud van elkaar zijn. In dit geval is $(0,0)$ een afstotend of aantrekkend evenwicht al naar gelang de eigenwaarde positief of negatief is.

Als voorbeeld bekijken we het stelsel $\frac{\dd }{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y},\quad \text{met }A=\matrix{-1 & 0\\ 0 & -1}\text.$ Eigenwaarden en eigenvectoren van $A$ zijn $\lambda_1=-1\text{ bij }\vec{v}_1=\cv{1\\0}\quad\text{en}\quad\lambda_2=-1\text{ bij }\vec{v}_2=\cv{0\\1}\text.$ De oplossing is dus $\cv{x\\y}=c_1e^{-t}\vec{v}_1+ c_2e^{-t}\vec{v}_2$ waarbij $c_1$ en $c_2$ zo gekozen worden dat $\cv{x(0)\\ y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$ . De banen zijn dus rechten die in de richting van de oorsprong lopen, zoals onderstaand faseportret illustreert.

Stel $\lambda$ is een eigenwaarde met bijpassende eigenvector $\vec{v}$ . Dan geeft de volgende methode toch twee oplossingen. Er bestaat namelijk ook nog een vector $\vec{w}$ zodanig dat $(A-\lambda I)\vec{w}=\vec{v}$ . De vectoren $\vec{w}$ heten gegeneraliseerde eigenvectoren van $A$ . Uit de eigenschappen van $\vec{w}$ volgt (ga na!) dat $\cv{x\\ y}=c(\vec{v}t+\vec{w})e^{\lambda t}$ ook een oplossing is. De algemene oplossing is in dit geval dus gegeven door $\cv{x\\ y} = c_1e^{\lambda t}\vec{v}+c_2e^{\lambda t}(\vec{v}t+\vec{w})\text.$ In dit geval is $(0,0)$ een afstotend of aantrekkend evenwicht al naar gelang de eigenwaarde positief of negatief is.

Als eerste voorbeeld bekijken we het stelsel $\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A \cv{x\\ y},\quad \text{met }A=\matrix{-1 & 2\\ 0 & -1}\text.$ Eigenwaarde en eigenvector van $A$ is $\lambda=-1\text{ bij }\vec{v}=\cv{1\\0}\text.$ Een gegeneraliseerde eigenvector, dat wil zeggen een oplossing van $(A-\lambda I)\vec{w}=\vec{v}$ is $\vec{w}=\cv{0\\-\frac{1}{2}}\text.$ De oplossing is dus $\cv{x\\y}=c_1e^{-t}\vec{v}+ c_2e^{-t}(t\vec{v}+\vec{w})$ waarbij $c_1$ en $c_2$ zo gekozen worden dat $\cv{x(0)\\ y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$ . De banen zijn krommen die in de richting van de oorsprong lopen, zoals onderstaand faseportret illustreert.

Als tweede voorbeeld bekijken we het stelsel $\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\ y}=A\cv{x\\ y},\quad \text{met }A=\matrix{1 & -1\\ 1 & 3}\text.$ Eigenwaarde en eigenvector van $A$ is $\lambda=2\text{ bij }\vec{v}=\cv{-1\\1}\text.$ Een gegeneraliseerde eigenvector, dat wil zeggen een oplossing van $(A-\lambda I)\vec{w}=\vec{v}$ is $\vec{w}=\cv{1\\0}\text.$ De oplossing is dus $\cv{x\\y}=c_1e^{2t}\vec{v}+ c_2e^{2t}(t\vec{v}+\vec{w})$ waarbij $c_1$ en $c_2$ zo gekozen worden dat $\cv{x(0)\\ y(0)}=\cv{x_0\\y_0}$ . De banen zijn krommen die weg van de oorsprong lopen, zoals onderstaand faseportret illustreert.