Uitwerking

$\quad\frac{\dd}{\dd t}\vec{x}=A\, \vec{x}\quad$ met $A = \matrix{0 & 2\\-2 & 0\\}$

1. $\quad$De karakteristieke veelterm van $A$ is gelijk aan $$\det(A-\lambda\cdot I)=\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 2 \\ -2 & -\lambda \end{array}\right|= \lambda^2 +4$$
   $\quad$De eigenwaarden van $A$ zijn nulpunten van de karakteristieke veelterm: $-2\ii$ en $2\ii$.
   
   $\quad$Stel $\cv{v_1\\ v_2}$ is een eigenvector bij eigenwaarde $2\ii$: $\matrix{0 & 2\\-2 & 0\\}\cdot \cv{v_1\\ v_2}=2\ii\cv{v_1\\ v_2}$.
   
   $\quad$Dan: $\left\{\begin{aligned} 2v_2 &= 2\ii\cdot v_1 \\[0.2cm] -2v_1 &= 2\ii\cdot v_2\end{aligned}\right.$
   
   $\quad$Dus: $v_2=\ii\cdot v_1$ en $v_1$ is dan vrij te kiezen.
   $\quad$Een eigenvector bij eigenwaarde $2\ii$ (met gehele coëfficiënten) is $\vec{v}=\cv{1\\\ii}$.
   $\quad$Op net zo'n manier is $\vec{v}=\cv{1\\ -\ii}$ een eigenvector bij eigenwaarde $-2\ii$.
   
   
2. $\quad$De algemene oplossing is $$\vec{x}(t) =\alpha \cdot\cv{\cos(2t)\\ -\sin(2t)}+ \beta\cdot \cv{\sin(2t)\\ \cos(2t)}$$ $\quad$voor zekere constanten $\alpha$ en $\beta$.
   
   
3. $\quad\vec{x}(0)=\cv{2\\0}$ betekent dat $x_1(0)=2$ en $x_2(0)=0$.
   $\quad$Substitutie in de algemene oplossing (b) geeft: $\alpha=2$ en $\beta=2$
   $\quad$Dus: $\vec{x}(t)=2\cv{\cos(2t)\\ -\sin(2t)}$.
   
   $\quad$De baan is een cirkel met de oorsprong als centrum en straal 2: $$x_1^2+x_2^2=4$$ $\quad$Dit zie je terug in onderstaand faseportret.
   $\quad$