Uitwerking

\(\quad\frac{\dd}{\dd t}\vec{x}=A\, \vec{x}\quad\) met \(A = \matrix{0 & 2\\-2 & 0\\}\)

1. \(\quad\)De karakteristieke veelterm van \(A\) is gelijk aan \[\det(A-\lambda\cdot I)=\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 2 \\ -2 & -\lambda \end{array}\right|= \lambda^2 +4\]
   \(\quad\)De eigenwaarden van \(A\) zijn nulpunten van de karakteristieke veelterm: \(-2\ii\) en \(2\ii\).
   
   \(\quad\)Stel \(\cv{v_1\\ v_2}\) is een eigenvector bij eigenwaarde \(2\ii\): \(\matrix{0 & 2\\-2 & 0\\}\cdot \cv{v_1\\ v_2}=2\ii\cv{v_1\\ v_2}\).
   
   \(\quad\)Dan: \(\left\{\begin{aligned} 2v_2 &= 2\ii\cdot v_1 \\[0.2cm] -2v_1 &= 2\ii\cdot v_2\end{aligned}\right.\)
   
   \(\quad\)Dus: \(v_2=\ii\cdot v_1\) en \(v_1\) is dan vrij te kiezen.
   \(\quad\)Een eigenvector bij eigenwaarde \(2\ii\) (met gehele coëfficiënten) is \(\vec{v}=\cv{1\\\ii}\).
   \(\quad\)Op net zo'n manier is \(\vec{v}=\cv{1\\ -\ii}\) een eigenvector bij eigenwaarde \(-2\ii\).
   
   
2. \(\quad\)De algemene oplossing is \[\vec{x}(t) =\alpha \cdot\cv{\cos(2t)\\ -\sin(2t)}+ \beta\cdot \cv{\sin(2t)\\ \cos(2t)}\] \(\quad\)voor zekere constanten \(\alpha\) en \(\beta\).
   
   
3. \(\quad\vec{x}(0)=\cv{2\\0}\) betekent dat \(x_1(0)=2\) en \(x_2(0)=0\).
   \(\quad\)Substitutie in de algemene oplossing (b) geeft: \(\alpha=2\) en \(\beta=2\)
   \(\quad\)Dus: \(\vec{x}(t)=2\cv{\cos(2t)\\ -\sin(2t)}\).
   
   \(\quad\)De baan is een cirkel met de oorsprong als centrum en straal 2: \[x_1^2+x_2^2=4\] \(\quad\)Dit zie je terug in onderstaand faseportret.
   \(\quad\)