We kijken opnieuw naar een tweetal gekoppelde homogene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten van de vorm $$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= a\, x+ b\, y\\[0.25cm] \frac{\dd y}{\dd t} &= c\, x + d\, y\end{aligned}\right.$$ en schrijven dit in de matrix-vector vorm $$\frac{\dd}{\dd t}\cv{x\\y}=\matrix{a & b\\ c & d}\cv{x\\y }$$ De matrix $$A=\matrix{a & b\\ c & d}$$ beschrijft eigenlijk het stelsel van differentiaalvergelijkingen. De eigenwaarden en eigenvectoren bepalen de aard van de oplossingen en de stabiliteit van het evenwicht $\cv{x\\y}=\cv{0\\0}$.

De eigenwaarden van $A$ kunnen geschreven worden als $$\lambda_{1,2}=\frac{\text{sp}(A)}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\bigl(\text{sp}(A)\bigr)^2-4\det(A)}$$ waarbij $\text{sp}(A)=a+d$ het spoor van $A$ is en $\det(A)=ad-bc$ de determinant van $A$ is.

We hebben al gezien dat het evenwicht aantrekkend is als $A$

• twee verschillende eigenwaarden heeft die beiden negatief zijn;
• één negatieve eigenwaarde heeft;
• complexe eigenwaarden heeft met reëel deel kleiner dan nul.

We kunnen de stabiliteit van het evenwicht ook in termen van het spoor en de determinant van de matrix $A$ formuleren

We kunnen alle combinaties van het teken van $\det(A)$ en $\text{sp}(A)$ onderzoeken en het gedrag van oplossingen in de buurt van het evenwicht $(0,0)$ beschrijven. Onderstaande figuur afkomstig van het boek Mathematical Models in Biology van Leah Edelstein-Keshet vat de resultaten samen. In deze figuur is $\beta=\text{sp}(A)$ en $\gamma=\det(A)$. $\beta^2-4\gamma$ is de discriminant van de karakteristieke vergelijking van $A$. Als de discriminant gelijk aan 0 is, dan hangt de stabiliteit van het evenwicht af van het teken van $\beta$: afstotend als $\beta>0$ en aantrekkend als $\beta<0$ . Verder zijn er nog 6 gevallen:

1. afstotend evenwicht: $\beta>0$ en $\gamma>0$.
2. zadelpunt (semistabiel evenwicht): $\gamma<0$.
3. aantrekkend evenwicht: $\beta<0$ en $\gamma>0$.
4. uitdijende spiralisering: $\beta>0$ en $\beta^2<4\gamma$.
5. periodieke oplossingen rondom het evenwicht: $\beta=0$ en $\beta^2<4\gamma$.
6. krimpende spiralisering: $\beta<0$ en $\beta^2<4\gamma$.