Pen-en-papier opdracht: stabiliteitsanalyse

Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Lineaire stelsels van differentiaalvergelijkingen

Pen-en-papier opdracht: stabiliteitsanalyse

$\beta=\mathrm{sp}=a+d$ en $\gamma=\det=ad-bc$ voor het stelsel

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= a\, x+ b\, y\\ \frac{\dd y}{\dd t} &= c\, x + d\, y\end{aligned}\right.$

Gebruik het bovenstaande stabiliteitsschema om de aard van het evenwicht $(0,0)$ te bepalen van onderstaand stelsel van differentiaalvergelijkingen:

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= -4x+ 2y\\ \\ \frac{\dd y}{\dd t} &= x -2y\end{aligned}\right.$

Uitwerking In dit geval:

$a=-4,\quad b=2,\quad c=1,\quad d=-2$ Dan

$\beta\,(=a+d)=-6,\quad \gamma\,(=ad-bc)=6$ Omdat $\beta<0$ , $\gamma>0$ en $\beta^2-4\gamma=12>0$ is er volgens het stabiliteitsschema sprake van een aantrekkend evenwicht $(0,0)$ met oplossingskrommen die daarheen lopen, maar niet in spiraalvorm.

Gebruik het bovenstaande stabiliteitsschema om de aard van het evenwicht $(0,0)$ te bepalen van onderstaand stelsel van differentiaalvergelijkingen:

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= x-y\\ \\ \frac{\dd y}{\dd t} &= x-2y\end{aligned}\right.$

Uitwerking In dit geval:

$a=1,\quad b=-1,\quad c=1,\quad d=-2$ Dan

$\beta\,(=a+d)=-1,\quad \gamma\,(=ad-bc)=-1$ Omdat $\beta<0$ en $\gamma<0$ is er volgens het stabiliteitsschema sprake van een zadelpunt $(0,0)$ .

Gebruik het bovenstaande stabiliteitsschema om de aard van het evenwicht $(0,0)$ te bepalen van onderstaand stelsel van differentiaalvergelijkingen:

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= x-y\\ \\ \frac{\dd y}{\dd t} &= 2x-y\end{aligned}\right.$

Uitwerking In dit geval:

$a=1,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=-1$ Dan

$\beta\,(=a+d)=0,\quad \gamma\,(=ad-bc)=1$ Omdat $\beta=0$ en $\gamma>0$ is er volgens het stabiliteitsschema sprake van een evenwicht $(0,0)$ waar omheen de oplossingskrommen in ellipsbanen cirkelen.

Gebruik het bovenstaande stabiliteitsschema om de aard van het evenwicht $(0,0)$ te bepalen van onderstaand stelsel van differentiaalvergelijkingen:

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= x-y\\ \\ \frac{\dd y}{\dd t} &= 2x+y\end{aligned}\right.$

Uitwerking In dit geval:

$a=1,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=1$ Dan

$\beta\,(=a+d)=2,\quad \gamma\,(=ad-bc)=3$ Omdat $\beta<0$ , $\gamma>0$ en $\beta^2-4\gamma=-5<0$ is er volgens het stabiliteitsschema sprake van een afstotend evenwicht $(0,0)$ met oplossingskrommen die daar in spiraalvorm vandaan lopen.

Gebruik het bovenstaande stabiliteitsschema om de aard van het evenwicht $(0,0)$ te bepalen van onderstaand stelsel van differentiaalvergelijkingen:

$\left\{\begin{aligned} \frac{\dd x}{\dd t} &= -x-y\\ \\ \frac{\dd y}{\dd t} &= 2x-y\end{aligned}\right.$

Uitwerking In dit geval:

$a=-1,\quad b=-1,\quad c=2,\quad d=-1$ Dan

$\beta\,(=a+d)=-2,\quad \gamma\,(=ad-bc)=3$ Omdat $\beta<0$ , $\gamma>0$ en $\beta^2-4\gamma=-8<0$ is er volgens het stabiliteitsschema sprake van een aantrekkend evenwicht $(0,0)$ met oplossingskrommen die daar in spiraalvorm naartoe lopen.