Stelsels van differentiaalvergelijkingen: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
Jacobi-matrix
Voor reële functies in meer variabelen, zeg \(f:\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}\), voor zeker natuurlijk getal \(n\), hebben we al partiële afgeleiden en de gradiënt \(\nabla f\) geïntroduceerd in het hoofdstuk Functies van meerdere variabelen; in rijvectornotatie ziet dit er uit als: \[\nabla f= \matrix{\dfrac{\partial f}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f}{\partial x_2} & \ldots & \dfrac{\partial f}{\partial x_n}}\] We gaan nu een stapje verder en bekijken een afbeelding \(f = (f_1,\ldots, f_k):\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^k\), met \(k\) en \(n\) zekere natuurlijke getallen. Nu kunnen we de Jacobi-matrix introduceren.
De Jacobi-matrix \(J(f)\) is gedefinieerd als de \(k\times n\) matrix van alle mogelijke partiële afgeleiden: \[J(f)= \matrix{\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \ldots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_k}{\partial x_1} & \ldots & \dfrac{\partial f_k}{\partial x_n}}\]
Linearisatie De Jacobi-matrix kunnen we gebruiken om een willekeurig gekozen afbeelding lineair te benaderen: \[\cv{f_1(x_1,\ldots,x_n)\\ \vdots \\ f_k(x_1,\ldots,x_n)}\approx \cv{f_1(a_1,\ldots,a_n)\\ \vdots \\ f_k(a_1,\ldots,a_n)} + J(f)(a_1,,\ldots,a_n)\cdot \cv{x_1-a_1\\ \vdots \\ x_n-a_n}\]
Stel \[f(x,y)=\bigl(f(x,y), g(x,y)\bigr)=\bigl(\sin(x+2y), 3e^x+5y\bigr)\] Dan: \[\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(0,0)+\matrix{\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) & \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) & \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)}\cdot \cv{x\\y}\\ \\ &= \cv{0\\ 3}+\matrix{1 & 2\\3 & 5}\cv{x\\y} \\ \\ &= \cv{x+2y\\ 3 + 3x+ 5y}\end{aligned}\]
