We bekijken het stelsel differentiaalvergelijkingen

$$\left\{\begin{aligned} \dfrac{\dd x}{\dd t} &=x-y\\[0.25cm] \dfrac{\dd y}{\dd t} &= 1-x^2 \end{aligned}\right.$$ Evenwichten zijn er als $\dfrac{\dd x}{\dd t}=0$ en $\dfrac{\dd y}{\dd t}=0$, dus als $x-y=0$ en $1-x^2=0$. Er zijn daarom twee evenwichten: $(1,1)$ en $(-1,-1)$.

Het richtingendiagram ziet er als volgt uit:

We zoeken nu uit wat voor evenwichten we hebben in dit stelsel differentiaalvergelijkingen. De algemene vorm van de Jacobi-matrix in $(x,y)$ is

$$J(x,y) =\matrix{\dfrac{\partial (x-y)}{\partial x} & \dfrac{\partial (x-y)}{\partial y}\\ \dfrac{\partial (1-x^2)}{\partial x} & \dfrac{\partial (1-x^2)}{\partial y}}=\matrix{1 & -1\\ -2x & 0}$$

• De bijpassende linearisatie in $(1,1)$ is $$\cv{ x'\\ y'}=\matrix{1 & -1\\ -2 & 0}\cv{x\\ y}$$ Om de eigenwaarden van de Jacobi-matrix uit te rekenen moeten we de nulpunten van de karakteristieke veelterm van de matrix berekenen. De veelterm is $$\det\matrix{\lambda -1 & 1\\ 2 & \lambda}=(\lambda -1 )\lambda -2=\lambda^2-\lambda-2= (\lambda - 2)(\lambda+1)$$ De nulpunten zijn $\lambda=-1$ en $\lambda=2$. We hebben een positief en negatief nulpunt en daarom is $(1,1)$ een zadelpunt.
• De bijpassende linearisatie in $(-1,-1)$ is $$\cv{ x'\\ y'}=\matrix{1 & -1\\ 2 & 0}\cv{x\\ y}$$ Om de eigenwaarden van de Jacobi-matrix uit te rekenen moeten we de nulpunten van de karakteristieke veelterm van de matrix berekenen. De veelterm is $$\det\matrix{\lambda -1 & 1\\ -2 & \lambda}=(\lambda -1 )\lambda +2=\lambda^2-\lambda +2$$ De nulpunten zijn $\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 2}}{2}= \frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7}\ii$. We hebben complexe nulpunten met een positief reëel deel. Dus is $(-1,-1)$ een evenwicht met uitdijende spiralen in de buurt als oplossingskrommen.

Onderstaande figuur toont het faseportret met enkele oplossingskrommen.