Simulatie van het Hodgkin Huxley Model

Het stelsel van 4 differentiaalvergelijkingen in the Hodgkin-Huxley model is: \[\begin{aligned}C_m\frac{\dd V_m}{\dd t} &= - {x_{\rm{K}}}\overline {{g_{\rm{K}}}} {n^4}({V_m} - {E_{\rm{K}}}) - {x_{{\rm{Na}}}}\overline {{g_{{\rm{Na}}}}} {m^3}h({V_m} - {E_{{\rm{Na}}}}) - \overline {{g_{\rm{L}}}} ({V_m} - {E_{\rm{L}}}) + I\\[0.25cm]
\frac{\dd n}{\dd t}&=\alpha_n(V_m)(1-n)-\beta_n(V_m)n\\[0.25cm]
\frac{\dd m}{\dd t}&=\alpha_m(V_m)(1-m)-\beta_m(V_m)m \\[0.25cm]
\frac{\dd h}{\dd t}&=\alpha_h(V_m)(1-h)-\beta_h(V_m)h
\end{aligned}\] waarbij \(V_m\) de membraanpotentiaal is, \(E_X\) de Nernstpotentiaal voor een gegeven ion \(X\) of de lekpotentiaal (voor \(X=L\)), is en de poortfuncties \(n\), \(m\), \(h\) voldoen aan de volgende beginwaardeproblemen van begrensde exponentiële groei met spanningsafhankelijke coëfficiënten :
\[\begin{aligned}
\alpha_n(v) &= \frac{0.01\bigl(10-(v-V_r)\bigr)}{\exp\left(\frac{10-(v-V_r)}{10}\right)-1}\\[0.25cm]
\beta_n(v)&=0.125\exp\left(\frac{-(v-V_r)}{80}\right)\\[0.25cm]
\alpha_m(v)&= \frac{0.01\bigl(25-(v-V_r)\bigr)}{\exp\left(\frac{25-(v-V_r)}{10}\right)-1}\\[0.25cm]
\beta_m(v)&=4\exp\left(\frac{-(v-V_r)}{18}\right)\\[0.25cm]
\alpha_h(v)&=0.07\exp\left(\frac{-(v-V_r)}{20}\right)\\[0.25cm]
\beta_h(v) &= \frac{1}{\exp\left(\frac{30-(v-V_r)}{10}\right)+1}\\[0.25cm]
n(0) &= 0.32\\[0.25cm]
m(0)&=0.06\\[0.25cm]
h(0) &= 0.6
\end{aligned}\] We hebben ook blokkeringen van kalium- en natriumkanalen ingebouwd door aan het originele Hodgkin-Huxley model de parameters \(x_\mathrm{K}\) en \(x_\mathrm{Na}\), gedefinieerd als de fracties van actieve kanalen (in termen van percentages \(b_\mathrm{K}\) en \(b_\mathrm{Na}\) van geblokkeerde ionkanalen), toe te voegen: \[x_\mathrm{K}=1-\frac{b_\mathrm{K}}{100}\qquad\text{en}\qquad x_\mathrm{Na}=1-\frac{b_\mathrm{Na}}{100}\] Blokkering van of ionkanalen is vaak een gevolg van neurotoxines Tetrodoxin (TTX), geïsosoleerd uit de Japanse kogelvis, blokkeert natriumkanalen, en tetraethylammonium (TEA) blokeert kaliumkanalen.