Simulatie van het Hodgkin Huxley Model

Het stelsel van 4 differentiaalvergelijkingen in the Hodgkin-Huxley model is:

$$\begin{aligned}C_m\frac{\dd V_m}{\dd t} &= - {x_{\rm{K}}}\overline {{g_{\rm{K}}}} {n^4}({V_m} - {E_{\rm{K}}}) - {x_{{\rm{Na}}}}\overline {{g_{{\rm{Na}}}}} {m^3}h({V_m} - {E_{{\rm{Na}}}}) - \overline {{g_{\rm{L}}}} ({V_m} - {E_{\rm{L}}}) + I\\[0.25cm] \frac{\dd n}{\dd t}&=\alpha_n(V_m)(1-n)-\beta_n(V_m)n\\[0.25cm] \frac{\dd m}{\dd t}&=\alpha_m(V_m)(1-m)-\beta_m(V_m)m \\[0.25cm] \frac{\dd h}{\dd t}&=\alpha_h(V_m)(1-h)-\beta_h(V_m)h \end{aligned}$$ waarbij $V_m$ de membraanpotentiaal is, $E_X$ de Nernstpotentiaal voor een gegeven ion $X$ of de lekpotentiaal (voor $X=L$), is en de poortfuncties $n$, $m$, $h$ voldoen aan de volgende beginwaardeproblemen van begrensde exponentiële groei met spanningsafhankelijke coëfficiënten :
$$\begin{aligned} \alpha_n(v) &= \frac{0.01\bigl(10-(v-V_r)\bigr)}{\exp\left(\frac{10-(v-V_r)}{10}\right)-1}\\[0.25cm] \beta_n(v)&=0.125\exp\left(\frac{-(v-V_r)}{80}\right)\\[0.25cm] \alpha_m(v)&= \frac{0.01\bigl(25-(v-V_r)\bigr)}{\exp\left(\frac{25-(v-V_r)}{10}\right)-1}\\[0.25cm] \beta_m(v)&=4\exp\left(\frac{-(v-V_r)}{18}\right)\\[0.25cm] \alpha_h(v)&=0.07\exp\left(\frac{-(v-V_r)}{20}\right)\\[0.25cm] \beta_h(v) &= \frac{1}{\exp\left(\frac{30-(v-V_r)}{10}\right)+1}\\[0.25cm] n(0) &= 0.32\\[0.25cm] m(0)&=0.06\\[0.25cm] h(0) &= 0.6 \end{aligned}$$ We hebben ook blokkeringen van kalium- en natriumkanalen ingebouwd door aan het originele Hodgkin-Huxley model de parameters $x_\mathrm{K}$ en $x_\mathrm{Na}$, gedefinieerd als de fracties van actieve kanalen (in termen van percentages $b_\mathrm{K}$ en $b_\mathrm{Na}$ van geblokkeerde ionkanalen), toe te voegen: $$x_\mathrm{K}=1-\frac{b_\mathrm{K}}{100}\qquad\text{en}\qquad x_\mathrm{Na}=1-\frac{b_\mathrm{Na}}{100}$$ Blokkering van of ionkanalen is vaak een gevolg van neurotoxines Tetrodoxin (TTX), geïsosoleerd uit de Japanse kogelvis, blokkeert natriumkanalen, en tetraethylammonium (TEA) blokeert kaliumkanalen.