Simulatie van het Krinsky-Kokoz-Rinzel model

Het stelsel van vier differentiaal vergelijkingen van het Hodgkin-Huxley model kan op de volgende manier gereduceerd worden tot een 2-dimensionaal dynamisch systeem.

Door het gedrag van toestandsgrootheden in het Hodgkin-Huxley model nader onder de lep te nemen, kan men opmerken dat de som van de poortfunctie \(n\) en \(h\) nagenoeg constant is en dat de poortfunctie \(m\) relatief snel verandert omdat de tijdschaal klein is in vergelijking met de tijdschalen \(n\) en \(h\) in het relevante spanningsgebied. In wiskundige taal betekent dit dat \(h = c - n\), voor een zekere constante \(c\), en dat \(m = m_{\inf}(V)\). We hebben daarom het volgende stelsel van vergelijkingen: \[\begin{aligned}C_m\frac{\dd V_m}{\dd t} &= - {x_{\rm{K}}}\overline {{g_{\rm{K}}}} {n^4}({V_m} - {E_{\rm{K}}}) - {x_{{\rm{Na}}}}\overline {{g_{{\rm{Na}}}}} {m^3}h({V_m} - {E_{{\rm{Na}}}}) - \overline {{g_{\rm{L}}}} ({V_m} - {E_{\rm{L}}}) + I\\[0.25cm] \frac{{\dd n}}{{\dd t}} &= {\alpha _n}({V_m})(1 - n) - {\beta _n}({V_m})n \\[0.25cm] h &= c - n \\[0.25cm] m &= {m_\infty }({V_m}) = \frac{{{\alpha _m}({V_m})}}{{{\alpha _m}({V_m}) + {\beta _m}({V_m})}}\end{aligned}\] waarbij \(V_m\) de membraanpotentiaal is, \(E_X\) de Nernstpotentiaal van een gegeven ion \(X\) of de lekspanning (voor \(X=L\)) is, en de poortfunctie gate\(n\) voldoet aan het volgende beginwaardeprobleem van begrensde exponentiële groei met spanningsafhankelijke coëfficiënten :

We hebben ook blokkeringen van kalium- en natriumkanalen ingebouwd door aan het originele Hodgkin-Huxley model de parameters \(x_\mathrm{K}\) en \(x_\mathrm{Na}\), gedefinieerd als de fracties van actieve kanalen (in termen van percentages \(b_\mathrm{K}\) en \(b_\mathrm{Na}\) van geblokkeerde ionkanalen), toe te voegen: \[x_\mathrm{K}=1-\frac{b_\mathrm{K}}{100}\qquad\text{en}\qquad x_\mathrm{Na}=1-\frac{b_\mathrm{Na}}{100}\] Blokkering van of ionkanalen is vaak een gevolg van neurotoxines Tetrodoxin (TTX), geïsosoleerd uit de Japanse kogelvis, blokkeert natriumkanalen, en tetraethylammonium (TEA) blokeert kaliumkanalen.