Simulatie van het Krinsky-Kokoz-Rinzel model

Het stelsel van vier differentiaal vergelijkingen van het Hodgkin-Huxley model kan op de volgende manier gereduceerd worden tot een 2-dimensionaal dynamisch systeem.

Door het gedrag van toestandsgrootheden in het Hodgkin-Huxley model nader onder de lep te nemen, kan men opmerken dat de som van de poortfunctie $n$ en $h$ nagenoeg constant is en dat de poortfunctie $m$ relatief snel verandert omdat de tijdschaal klein is in vergelijking met de tijdschalen $n$ en $h$ in het relevante spanningsgebied. In wiskundige taal betekent dit dat $h = c - n$, voor een zekere constante $c$, en dat $m = m_{\inf}(V)$. We hebben daarom het volgende stelsel van vergelijkingen:

$$\begin{aligned}C_m\frac{\dd V_m}{\dd t} &= - {x_{\rm{K}}}\overline {{g_{\rm{K}}}} {n^4}({V_m} - {E_{\rm{K}}}) - {x_{{\rm{Na}}}}\overline {{g_{{\rm{Na}}}}} {m^3}h({V_m} - {E_{{\rm{Na}}}}) - \overline {{g_{\rm{L}}}} ({V_m} - {E_{\rm{L}}}) + I\\[0.25cm] \frac{{\dd n}}{{\dd t}} &= {\alpha _n}({V_m})(1 - n) - {\beta _n}({V_m})n \\[0.25cm] h &= c - n \\[0.25cm] m &= {m_\infty }({V_m}) = \frac{{{\alpha _m}({V_m})}}{{{\alpha _m}({V_m}) + {\beta _m}({V_m})}}\end{aligned}$$ waarbij $V_m$ de membraanpotentiaal is, $E_X$ de Nernstpotentiaal van een gegeven ion $X$ of de lekspanning (voor $X=L$) is, en de poortfunctie gate$n$ voldoet aan het volgende beginwaardeprobleem van begrensde exponentiële groei met spanningsafhankelijke coëfficiënten :

We hebben ook blokkeringen van kalium- en natriumkanalen ingebouwd door aan het originele Hodgkin-Huxley model de parameters $x_\mathrm{K}$ en $x_\mathrm{Na}$, gedefinieerd als de fracties van actieve kanalen (in termen van percentages $b_\mathrm{K}$ en $b_\mathrm{Na}$ van geblokkeerde ionkanalen), toe te voegen:

$$x_\mathrm{K}=1-\frac{b_\mathrm{K}}{100}\qquad\text{en}\qquad x_\mathrm{Na}=1-\frac{b_\mathrm{Na}}{100}$$ Blokkering van of ionkanalen is vaak een gevolg van neurotoxines Tetrodoxin (TTX), geïsosoleerd uit de Japanse kogelvis, blokkeert natriumkanalen, en tetraethylammonium (TEA) blokeert kaliumkanalen.