Dubbelintegralen als herhaalde integralen

Meervoudige integralen: Dubbelintegralen

Dubbelintegralen als herhaalde integralen

In de vorige theoriepagina's is al gesuggereerd dat een dubbelintegraal ook exact te berekenen is door herhaalde integratie. We zullen hier nog wat preciezer op ingaan.

Stel dat we een dubbelintegraal $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)$ willen uitrekenen voor een positieve continue functie $f$ boven een rechthoekig integratiegebied $R=[a,b]\times [c,d]$ . Definieer de volgende hulpfunctie $S(y)=\int_{x=a}^{x=b} f(x,y)\,\dd x$ Bij vast gekozen $y$ integreer je dus de functie $f(x,y)$ naar $x$ .

Verdeel het gebied $R$ in $m$ stroken met lengte ${\vartriangle}y=(d-c)/m$ . Kies in elke strook een horizontale lijn op hoogte $y_j$ en bereken $S(y_j)$ . Dit geeft de oppervlakte onder de grafiek van $f(x,y_j)$ en het product hiervan met ${\vartriangle}y$ is dan gelijk aan de inhoud van de `plak' met dikte ${\vartriangle}y$ die de grafiek van de functie $f(x,y_j)$ als profiel heeft ( $x$ is hier de variabele, $y_j$ is vast).

In onderstaande figuur hebben we weer de functie $f(x,y)=\frac{1}{6}(x^2y+2\sqrt{x+1}-y^3+6)$ en het vierkant $[0,2]\times[0,2]$ als integratiegebied $R$ gekozen. Er zijn $10$ horizontale stroken genomen ( $m=10,{\vartriangle}y=0.2$ ). De 'plakjes' waarvan elke hoogte steeds past bij het midden van de desbetreffende strook zijn aan de rechterkant te zien. herhaalde integratie: eerst naar y, dan naar x

De oppervlakte van dat profiel is $S(y_j)$ en de som $\sum_{j=1}^{m}S(y_j)\cdot {\vartriangle}y$ is weer een benadering van de dubbelintegraal $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)$ . Tegelijkertijd is het ook een benadering van de integraal $\int_{y=c}^{y=d} S(y)\,\dd y$ . Voor 'nette' functies geldt dat beide integralen gelijk aan elkaar zijn: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{y=c}^{y=d} S(y)\,\dd y= \int_{y=c}^{y=d}\left(\int_{x=a}^{x=b} f(x,y)\,\dd x\right)\dd y$

In het voorbeeld van de functie $f(x,y)=\frac{1}{6}(x^2y+2\sqrt{x+1}-y^3+6)$ en het vierkant $[0,2]\times[0,2]$ als integratiegebied $R$ krijgen we $\begin{aligned} S(y) &= \int_{x=0}^{x=2} f(x,y)\,\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\frac{1}{6}(x^2y+2\sqrt{x+1}-y^3+6)\,\dd x \\[0.25cm] &=\Bigl[\frac{1}{18}x^3y+\frac{2}{9}(x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}xy^3+x\Bigr]_0^{2}\\[0.25cm] &= \bigl(\frac{4}{9}y+\frac{2}{9}\sqrt{27}-\frac{1}{3}y^3+2\bigr)-\frac{2}{9}\\[0.25cm] &= \frac{4}{9}y+\frac{2}{3}\sqrt{3}-\frac{1}{3}y^3+\frac{16}{9}\end{aligned}$ en dus $\begin{aligned}\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y) &= \int_{y=0}^{y=2} S(y)\,\dd y\\[0.25cm] &= \int_{y=0}^{y=2}\left(\frac{4}{9}y+\frac{2}{3}\sqrt{3}-\frac{1}{3}y^3+\frac{16}{9}\right)\dd y\\[0.25cm] &= \Bigl[\frac{2}{9}y^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}y-\frac{1}{12}y^4+\frac{16}{9}y\Bigl]_{0}^{2}\\[0.25cm] &=\frac{8}{9} + \frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{16}{12}+\frac{32}{9}\\[0.25cm] &= \frac{28}{9}+\frac{4}{3}\sqrt{3}\end{aligned}$

Hierboven hebben we eerst naar $x$ geïntegreerd en daarna naar $y$ . Maar de volgorde kan ook omgekeerd worden. De dubbelintegraal wordt dan $\iint_R f(x,y)\,\dd(y,x)= \int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=c}^{y=d} f(x,y)\,\dd y\right)\dd x$ De uitkomst van herhaalde integratie is hetzelfde, maar de route is anders. In de afleiding van deze formule begin je nu met de introductie van de hulpfunctie $T(x)=\int_{y=c}^{y=d} f(x,y)\,\dd y$ Bij vast gekozen $x$ integreer je dus de functie $f(x,y)$ naar $y$ . Hierna verdeel je het gebied $R$ in $n$ verticale stroken met lengte ${\vartriangle}x=(b-a)/n$ . Kies in elke strook een verticale lijn op breedte $x_i$ en bereken $T(x_i)$ . Dit geeft de oppervlakte onder de grafiek van $f(x_i,y)$ en het product hiervan met ${\vartriangle}x$ is dan gelijk aan de inhoud van de `plak' met dikte ${\vartriangle}x$ die de grafiek van de functie $f(x_i,y)$ als profiel heeft ( $y$ is hier de variabele, $x_i$ is vast). Hieronder staat de strokenverdeling en de plakkenbenadering van de dubbelintegraal voor bovenstaand voorbeeld.

herhaalde integratie: eerst naar x, dan naar y

De oppervlakte van het profiel $f(x_i,y)$ is $T(x_i)$ en de som $\sum_{j=1}^{x=b}T(x_j)\cdot {\vartriangle}x$ is weer een benadering van de dubbelintegraal $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)$ . Tegelijkertijd is het ook een benadering van de integraal $\int_{x=a}^{x=b} T(x)\,\dd x$ . Voor 'nette' functies geldt dat beide integralen gelijk aan elkaar zijn: $\iint_R f(x,y)\,\dd(y,x)=\int_{x=a}^{x=b} T(x)\,\dd x= \int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=c}^{y=d} f(x,y)\,\dd y\right)\dd x$ Om geen haakjes te hoeven zetten wordt $\dd(y,x)=\dd y\,\dd x$ als notatie opgevat als herhaalde integratie met eerst naar $y$ integreren en daarna naar $x$ integreren. De notatie $\dd(x,y)=\dd x\,\dd y$ is juist omgekeerd: eerst naar $x$ en daarna pas naar $y$ integreren. Bij 'nette' functies levert dit hetzelfde resultaat op. Soms moet je i.v.m. eenvoud van berekening wel een weloverwogen keuze van integratievolgorde maken.

Bereken $\iint_R (6-2x+y)\,\dd(x,y)$ met $R=[0,2]\times [2,3]$

$\displaystyle \iint_R (6-2x+y)\,\dd(x,y)={}$ $13$

$\begin{aligned} \iint_R (6-2x+y)\,\dd(x,y) &= \int_{y=2}^{y=3}\left(\int_{x=0}^{x=2}(6-2x+y)\,\dd x\right)\dd y\\[0.25cm] &=\int_{y=2}^{y=3}\biggl[6x-x^2+xy\biggr]_{x=0}^{x=2}\,\,\dd y\\[0.25cm] &= \int_{y=2}^{y=3}\left(2\,y+8\right)\dd y\\[0.25cm] &=\biggl[y^2+8\,y\biggr]_{y=2}^{y=3}\\[0.25cm] &= 33-20\\[0.25cm] &=13\end{aligned}$

Hetzelfde resultaat krijg je volgens de stelling van Fubini bij omkering van de integratievariabelen: $\begin{aligned} \iint_R (6-2x+y)\,\dd(x,y) &= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=2}^{y=3}(6-2x+y)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\biggl[6y-2xy+{{1}\over{2}}y^2\biggr]_{y=2}^{y=3}\,\,\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\biggl(\bigl({{45}\over{2}}-6\,x\bigr)-\bigl(14-4\,x\bigr)\biggr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\left({{17}\over{2}}-2\,x\right)\dd x\\[0.25cm] &=\biggl[{{17\,x}\over{2}}-x^2\biggr]_{x=0}^{x=2}\\[0.25cm] &= {{17\times 2}\over{2}}-2^2\\[0.25cm] &=13\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld