Dubbelintegralen over een begrensd maar niet-rechthoekig gebied

Meervoudige integralen: Dubbelintegralen

Dubbelintegralen over een begrensd maar niet-rechthoekig gebied

Het integratiegebied bij een dubbelintegraal hoeft niet per se een rechthoek te zijn; dit volgt al uit de interpretatie dat het de inhoud onder de grafiek van een positieve continue functie $f(x,y)$ boven een gesloten gebied in het $xy$ -vlak iss. We beginnen met twee bijzondere gebieden, die eenzijdig eenvoudig zijn.

Een integratiegebied is $\boldsymbol{y}$ -eenvoudig als het begrensd wordt door twee verticale lijnen $x=a$ en $x=b$ samen met twee continue functies $y=c(x)$ en $y=d(x)$ tussen deze twee lijnen, Onderstaande figuur schetst de situatie.

y-eenvoudig integratiegebied

De dubbelintegraal $\displaystyle \iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)$ wordt dan benaderd door de inhouden onder de grafiek van $f$ van 'zeer dunne' plakjes links startend in $x$ en met breedte $\dd x$ tussen $x=a$ en $x=b$ , benaderd met $\displaystyle \left(\int_{y=c(x)}^{y=d(x)}f(x,y)\,\dd y\right)\!\cdot \dd x$ , bij elkaar op te tellen. Daarmee krijgen we in het infinitesimale geval de volgende herhaalde integraal: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=c(x)}^{y=d(x)}f(x,y)\,\dd y\right)\dd x$

Een integratiegebied is $\boldsymbol{x}$ -eenvoudig als het begrensd wordt door twee horizontale lijnen $y=c$ en $y=d$ samen met twee continue functies $x=a(y)$ en $x=d(y)$ tussen deze twee lijnen, Onderstaande figuur schetst de situatie.

x-eenvoudig integratiegebied

De dubbelintegraal $\displaystyle \iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)$ wordt dan benaderd door de inhouden onder de grafiek van $f$ van 'zeer dunne' plakjes onder startend in $y$ en met hoogte $\dd y$ tussen $y=c$ en $y=d$ , benaderd met $\displaystyle \left(\int_{x=a(y)}^{x=b(y)}f(x,y)\,\dd x\right)\!\cdot \dd y$ , bij elkaar op te tellen. Daarmee krijgen we in het infinitesimale geval de volgende herhaalde integraal: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{y=c}^{y=d}\left(\int_{x=a(y)}^{x=b(y)}f(x,y)\,\dd x\right)\dd y$

Veel van de integratiegebieden waarover we een dubbelintegraal willen berekenen zijn $y$ -eenvoudig, $x$ -eenvoudig, of allebei. In het laatste geval geldt de volgende sterke versie van de stelling van Fubini.

Stel dat $f(x,y)$ een continue functie is op een integratiegebied $R$

Als $R$ $y$ -eenvoudig is, d.w.z. $R=\{(x,y)\mid a\le x\le b, c(x)\le y\le d(x)\}$ , met continue functie $y=c(x)$ en $y=d(x)$ , dan geldt: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=c(x)}^{y=d(x)}f(x,y)\,\dd y\right)\dd x$
Als $R$ $x$ -eenvoudig is, d.w.z. $R=\{(x,y)\mid a(x)\le x\le b(x), c\le y\le d\}$ , met continue functie $x=a(y)$ en $x=b(y)$ , dan geldt: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{y=c}^{y=d}\left(\int_{x=a(y)}^{x=b(y)}f(x,y)\,\dd x\right)\dd y$
Als $R$ $x$ - en $y$ -eenvoudig is, d.w.z. $R=\{(x,y)\mid a(x)\le x\le b(x), c\le y\le d\}\quad\text{en}\quad R=\{(x,y)\mid a\le x\le b, c(x)\le y\le d(x)\}$ voor zekere continue functies $x=a(y)$ , $x=b(y)$ , $y=c(x)$ en $y=d(x)$ , dan geldt: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=c(x)}^{y=d(x)}f(x,y)\,\dd y\right)\dd x=\int_{y=a}^{y=b}\left(\int_{x=a(y)}^{x=b(y)}f(x,y)\,\dd x\right)\dd y$

In bovenstaande formules hebben we expliciet in de integratiegrenzen aangegeven welke variabele gesubstitueerd worden in een primitieve. Dit is handig en voorkomt fouten, maar het hoeft niet: je kunt i.p.v. $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{y=c}^{y=d}\left(\int_{x=a(y)}^{x=b(y)}f(x,y)\,\dd x\right)\dd y$ ook de notaties $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{c}^{d}\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\dd x\,\dd y$ en $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{c}^{d}\dd y\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\dd x$ gebruiken of tegenkomen in wiskundige teksten. De volgorde waarin $\dd x$ en $\dd y$ in de integraalformules voor komen bepaalt toch al de integratiegrenzen en de volgorde van integreren.

Bereken $\iint_R (3x+5y)\,\dd(x,y)$ met $R$ het gebied dat wordt ingesloten tussen de twee parabolen $y=x^2$ en $x=y^2$ .

$\iint_R (3x+5y)\,\dd(x,y)={}$ ${{6}\over{5}}$

De parabolen $y=x^2$ en $x=y^2$ snijden elkaar in de oorsprong en in het punt $(1,1)$ . Als we het integratiegebied beschouwen als een $y$ -eenvoudig gebied, dan houden we eerst $x$ vast (met $0\le x\le 1$ en integreren voor deze vaste $x$ naar $y$ . De integratiegrenzen zijn dan $a(y)=x^2$ en $b(y)=\sqrt{x}$ ; zie onderstaande figuur.

integratiegebied is y-eenvoudig

De herhaalde integraal wordt: $\begin{aligned}\iint_R (3 x+5 y)\,\dd(x,y) &= \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}}(3 x+5 y)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\biggl[(3 xy+{{5}\over{2}} y^2)\biggr]_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}}\,\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\bigl((3 x^{\frac{3}{2}}+{{5}\over{2}} x)-(3 x^3+{{5}\over{2}} x^4)\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &=\biggl[{{6}\over{5}} x^{\frac{5}{2}}+{{5}\over{4}}x^2-{{3}\over{4}} x^4-{{1}\over{2}} x^5\biggr]_{x=0}^{x=1}\\[0.25cm] &= {{6}\over{5}}+{{5}\over{4}}-{{3}\over{4}}-{{1}\over{2}}\\[0.25cm]&={{6}\over{5}} \end{aligned}$

We kunnen het integratiegebied ook als $x$ -eenvoudig beschouwen. Dan houden we eerst $y$ vast (met $0\le y\le 1$ en integreren voor deze vaste $y$ naar $x$ . De integratiegrenzen zijn dan $c(x)=y^2$ en $d(x)=\sqrt{y}$ ; zie onderstaande figuur.

x-eenvoudig gebied

De herhaalde integraal wordt: $\begin{aligned}\iint_R (3 x+5 y)\,\dd(x,y) &= \int_{y=0}^{y=1}\left(\int_{x=y^2}^{x=\sqrt{y}}(3x+5y)\,\dd x\right)\dd y\\[0.25cm] &= \int_{y=0}^{y=1}\biggl[({{3}\over{2}} x^2+5 xy)\biggr]_{x=y^2}^{x=\sqrt{y}}\,\dd x\\[0.25cm] &= \int_{y=0}^{y=1}\bigl(({{3}\over{2}} y+5 y^{\frac{3}{2}})-({{3}\over{2}} y^4+5 y^3)\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &=\biggl[{{3}\over{4}} y^2+2 y^{\frac{5}{2}}-{{3}\over{10}} y^5-{{5}\over{4}} y^4\biggr]_{y=0}^{y=1}\\[0.25cm] &= {{3}\over{4}}+2-{{3}\over{10}}-{{5}\over{4}}\\[0.25cm]&={{6}\over{5}} \end{aligned}$

De route is anders, maar het resultaat is hetzelfde.

Nieuw voorbeeld

Bij de exacte berekening van een dubbelintegraal $\iint_R f(x,y)\dd(x,y)$ over een niet-rechthoekig gebied $R$ kun je als volgt te werk gaan.

Maak een schets van het gebied $R$ in het $xy$ -vlak.
Ga na of het integratiegebied $x$ -eenvoudig is, $y$ -eenvoudig is, of misschien wel allebei.
Beslis aan de hand van de integrand en de aard van het integratiegebied of je eerst naar $x$ of $y$ gaat integreren.

Bij integratie eerst naar $y$ (d.w.z. $R$ is $y$ -eenvoudig):

Bepaal de linkergrens $a$ en rechtergrens $b$ voor $x$ als uitersten van $R$ in de horizontale richting.
Trek een verticale hulplijn op positie $x$ tussen $a$ en $b$ in de schets van $R$
Bepaal de ondergrens $c(x)$ en de bovengrens $d(x)$ voor het lijnstuk dat binnen $R$ blijft op horizontale positie $x$
Bereken $\displaystyle \int_{y=c(x)}^{y=d(x)}\,f(x,y)\,\dd y$ . Dit is een functie van $x$ .
Integreer laatstgenoemde functie met integratiegrenzen $a$ en $b$ . Dus: $\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\left(\int_{y=c(x)}^{y=d(x)}f(x,y)\,\dd y\right)\dd x$

Bij integratie eerst naar $x$ (d.w.z. $R$ is $x$ -eenvoudig):

Bepaal de ondergrens $c$ en bovengrens $d$ voor $y$ als uitersten van $R$ in de verticale richting.
Trek een horizontale hulplijn op positie $y$ tussen $c$ en $d$ in de schets van $R$
Bepaal de linkergrens $a(y)$ en de rechtergrens $b(y)$ voor het lijnstuk dat binnen $R$ blijft op verticale positie $y$
Bereken $\displaystyle \int_{x=a(y)}^{x=d(y)} f(x,y)\,\dd x$ . Dit is een functie van $y$ .
Integreer laatstgenoemde functie met integratiegrenzen $c$ en $d$ . Dus: $\iint_R f(x,y)\, \dd(x,y)=\int_{y=c}^{y=d}\left(\int_{x=a(y)}^{x=b(y)} f(x,y)\,\dd x\right)\dd y$