\(\iint_R\frac{1}{(x+y)^2}\,\dd(x,y)={}\)\(\ln(2)\)

Het moge duidelijk ziijn dat de functie \((x,y)\mapsto \frac{1}{(x+y)^2}\) niet gedefineerd is in het punt \((0,0)\) op de rand van het integratiegebied \(R\) en grotere waarden gaat aannemen naarmate men dichter in de buurt van de oorsprong komt. Toch heeft de dubbelintegraal een eindige waarde: \[\begin{aligned} \iint_R\frac{1}{(x+y)^2}\,\dd(x,y) &= \lim_{\xi\downarrow 0}\int_{x=\xi}^{x=1}\left(\int_{y=0}^{y=x^2}\frac{1}{(x+y)^2}\,\dd y\right)\dd x \\[0.25cm] &= \lim_{\xi\downarrow 0}\int_{x=\xi}^{x=1}\biggl[-\frac{1}{x+y}\biggr]_{y=0}^{y=x^2}\,\dd x\\[0.25cm] &= \lim_{\xi\downarrow 0}\int_{x=\xi}^{x=1}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+x}\right)\\[0.25cm] &=\int_{x=\xi}^{x=1} \frac{1}{x+1}\,\dd x\\[0.25cm] &=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1}\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[\ln(x+1)\biggr]_{0}^{1}\\[0.25cm] &= \ln(2)-\ln(1)\\[0.25cm] &= \ln(2) \end{aligned}\]
We hebben hier heel formeel een limiet geïntroduceerd, maar als je de herhaalde integraal \(\displaystyle \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=0}^{y=x^2}\frac{1}{(x+y)^2}\,\dd y\right)\dd x\) had berekend, dan was alles ook gewoon goed gegaan en had er ook geen oneigenlijke integraal in de tussenresultaten tevoorschijn gekomen.