Meervoudige integralen: Dubbelintegralen
Dubbelintegralen in poolcoördinaten
Bij gebieden in het \(xy\)-vlak die zich goed laten beschrijven in poolcoördinaten \((r,\varphi)\) is het handig om de dubbelintegralen ook in deze coördinaten uit te rekenen. Je overdekt dan het integratiegebied met kleine deelgebieden zoals in onderstaand figuur getoond wordt:
Wat we nog moeten bepalen is de oppervlakte van het gearceerde deelgebiedje voor infinitesimale differenties \(\dd r\) en \(\dd\varphi\). Deze oppervlakte is gelijk aan \[ \begin{aligned}\frac{1}{2}\dd\varphi\cdot (r+\dd r)^2- \frac{1}{2}\dd\varphi\cdot r^2&= \dd\varphi\cdot r\,\dd\varphi + \frac{1}{2}\dd\varphi\cdot (\dd r)^2\\[0.25cm] &= r\,\dd r\,\dd\varphi\qquad\blue{\text{infinitesimaal geval}}\end{aligned}\] Hiermee krijgen we de volgende rekenregel:
Dubbelintegraal in poolcoördinaten In poolcoördinaten kan een dubbelintegraal van een functie \(f(x,y)\) op een gebied \(R\) in het \(xy\)-vlak op de volgende manier geschreven worden als een herhaalde integraal in poolcoördinaten: \[\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)=\int_Rf(r\cos\varphi, r\sin\varphi)\,r\,\dd r\,\dd\varphi\]
Bereken de oneigenlijke dubbelintegraal \[\iint_R e^{-x^2-y^2}\,\dd(x,y)\] op het rechterhalfvlak \(R\).
Oplossing
De dubbelintegraal is eenvoudig uit te rekenen in poolcoördinaten \((r,\varphi)\) met \(r\ge 0\) en \(-\tfrac{1}{2}\pi\le \varphi\le -\tfrac{1}{2}\pi\) als herhaalde integraal: \[\begin{aligned}\iint_R e^{-x^2-y^2}\,\,\dd(x,y)&= \int_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{2}\pi}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}\,r\,\dd r\right)\,\dd\varphi\\[0.25cm] &=\int_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{2}\pi}\left(\lim_{\rho\to\infty}\biggl[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\biggr]_{0}^{\rho}\right)\,\dd\varphi\\[0.25cm] &=\int_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{2}\pi}\left(\lim_{\rho\to\infty}\frac{1}{2}\Bigl(1-e^{-\rho^2}\Bigr)\right)\,\dd\varphi\\[0.25cm] &=\int_{-\frac{1}{2}\pi}^{\frac{1}{2}\pi}\frac{1}{2}\,\dd\varphi\\[0.25cm] &= \biggl[\frac{1}{2}\varphi\biggr]_{\varphi=-\frac{1}{2}\pi}^{\varphi=\frac{1}{2}\pi}\\[0.25cm] &= \frac{1}{2}\pi\end{aligned}\]
Vanwege symmetrie van de integrand is ook de dubbelintegraal over het linkerhalfvlak gelijk aan \(\tfrac{1}{2}\pi\) en geldt dus dat de oneigenlijke dubbelintegraal van de integrand op het hele \(xy\)-vlak gelijk is aan \(\pi\). Omdat \[\begin{aligned}\pi &=\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2+y^2}\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \int_{x=-\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=\infty}e^{-x^2-y^2}\,\dd x \, \dd y\\[0.25cm]&=\int_{y=-\infty}^{y=\infty}e^{-y^2}\left( \int_{x=-\infty}^{x=\infty} e^{-x^2}\,\dd x\right) \dd y \\[0.25cm] &=\left(\int_{y=-\infty}^{y=\infty}e^{-y^2}\,\dd y\right)\cdot\left(\int_{x=-\infty}^{x=\infty}e^{-x^2}\,\dd x\right)\\[0.25cm] &=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\dd x\right)^2\end{aligned}\] hebben we ook de volgende oneigenlijke integraal in één variabele bepaald: \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,\dd x=\sqrt{\pi}\]