Meervoudige integralen: Drievoudige integralen
Drievoudige integralen in Cartesische coördinaten
Net als een dubbelintegraal kunnen we een drievoudige integraal van een functie \(f(x,y,z)\) in drie variabelen definiëren op een driedimensionaal begrensd gebied \(R\). De numerieke benadering bestaat uit de volgende stappen:
- Verdeel het integratiegebied \(R\) in kleine deelgebiedjes \(\dd R\), die ook wel volume-elementjes genoemd worden; denk hierbij bijvoorbeeld aan kleine balkjes;
- Kies de volume-elementjes zo klein dat de functie erboven bijna constant is.
- Kies een willekeurig punt \((x,y,z)\) in elk volume-elementje \(\dd R\) en bereken \(f(x,y,z)\). Vermenigvuldig dit met de inhoud \(|\dd R|\) van \(\dd R\).
- Tel alle uitkomsten verkregen in stap 3 bij elkaar op. De som is dan bij benadering gelijk aan de drievoudige integraal. De benadering is beter naarmate de volume-elementjes kleiner zijn.
Een exacte berekening van een drievoudige integraal is ook een generalisatie van de berekening van dubbelintegralen. Voorbeelden spreken voor zich.
\(\displaystyle\iiint_R x^3\,y^2\,z^3\,\dd(x,y,z)={}\)\(729\)
De herhaalde integraal kan als volgt berekend worden: \[\begin{aligned}\iiint_R x^3\,y^2\,z^3\,\dd(x,y,z)&= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=0}^{y=3}\left(\int_{z=0}^{z=3}x^3\,y^2\,z^3\,\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=0}^{y=3}\bigg[{{1}\over{4}}x^3\,y^2\,z^4\biggr]_{z=0}^{z=3}\;\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=0}^{y=3}{{81}\over{4}}x^3\,y^2\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\biggl[{{27}\over{4}}x^3\,y^3\biggr]_{y=0}^{y=3}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}{{729}\over{4}}x^{3}\,\dd x\\[0,25cm] &=\biggr[{{729}\over{16}}x^4\biggr]_{x=0}^{x=2}\\[0.25cm] &= 729\end{aligned}\]
De herhaalde integraal kan als volgt berekend worden: \[\begin{aligned}\iiint_R x^3\,y^2\,z^3\,\dd(x,y,z)&= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=0}^{y=3}\left(\int_{z=0}^{z=3}x^3\,y^2\,z^3\,\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=0}^{y=3}\bigg[{{1}\over{4}}x^3\,y^2\,z^4\biggr]_{z=0}^{z=3}\;\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=0}^{y=3}{{81}\over{4}}x^3\,y^2\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\biggl[{{27}\over{4}}x^3\,y^3\biggr]_{y=0}^{y=3}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}{{729}\over{4}}x^{3}\,\dd x\\[0,25cm] &=\biggr[{{729}\over{16}}x^4\biggr]_{x=0}^{x=2}\\[0.25cm] &= 729\end{aligned}\]
De eerder genoemde eigenschappen van dubbelintegralen hebben elk hun gelijke versie in drievoudige integralen. Bijvoorbeeld zegt de stelling van Fubini dat bij herhaalde integralen met de juiste integratiegrenzen om het integratiegebied te specificeren het eindresultaat steeds hetzelfde is.
Ontgrendel volledige toegang
