Meervoudige integralen: Toepassingen van meervoudige integralen
Quantumchemie toepassing
Onderstaande tabel geeft de golffuncties voor verschillende orbitalen van een waterstofachtig atoom met kernlading \(Z\) in atomaire eenheden (voor waterstof \(Z=1\)) via bolcoördinaten \((r,\phi,\theta)\), waarbij \(a_0\) de bohrstraal is en \(\rho=\frac{Z\,r}{a_0}\) en de volgende normeringen gebruikt zijn \[N_1=\sqrt{\dfrac{Z^3}{\pi a_0^3}},\quad N_2= \frac{1}{4}\sqrt{\dfrac{Z^3}{2\pi a_0^3}}\quad N_3=\frac{1}{81}\sqrt{\dfrac{Z^3}{2\pi a_0^3}}\text.\] \[\begin{array}{|c|c|} \hline
\mathit{orbitaal} &\mathit{golffunctie} \\ \hline
1s & \psi_{1s} = N_{1}\,e^{-\rho}\\[0.25cm] \hline 2s & \psi_{2s} =N_{2}\,(2-\rho)\,e^{-\rho/2}\\[0.25cm] 2p_x & \psi_{2p_x} = N_{2}\,\rho\, e^{-\rho/2}\cos\phi\sin\theta\\[0.25cm]
2p_y & \psi_{2p_y} =N_{2}\,\rho\, e^{-\rho/2}\sin\phi\sin\theta\\[0.25cm]
2p_z & \psi_{2p_z} =N_{2}\,\rho\, e^{-\rho/2}\cos\theta\\[0.25cm]\hline
3s & \psi_{3s} =\sqrt{\frac{2}{3}}\,N_{3}\,(27-18\rho+2\rho^2)\,e^{-\rho/3}\\[0.25cm]
3p_x & \psi_{3p_x} = 2N_{3}\,\rho\, (6-\rho)\, e^{-\rho/3}\cos\phi\sin\theta\\[0.25cm]
3p_y & \psi_{3p_y} = 2N_{3}\,\rho\,(6-\rho)\,\e^{-\rho/3}\sin\phi\sin\theta\\[0.25cm]
3p_z & \psi_{3p_z} = 2N_{3}\,\rho\, (6-\rho)\,e^{-\rho/3}\cos\theta\\[0.25cm]
3d_{z^2} & \psi_{3d_{z^2}} = \sqrt{\frac{1}{3}}\,N_3\,\rho^2\, e^{-\rho/3}(3\cos^2\theta-1)\\[0.25cm]
3d_{xz} & \psi_{3d_{xz}} = N_3\, \rho^2\, e^{-\rho/3}\cos\varphi\sin2\theta\\[0.25cm]
3d_{yz} & \psi_{3d_{yz}} = N_3\,\rho^2\, e^{-\rho/3}\sin\varphi\sin2\theta\\[0.25cm]
3d_{x^2-y^2} & \psi_{3d_{x^2-y^2}} = N_3\, \rho^2\, e^{-\rho/3}\cos2\varphi\sin^2\theta\\[0.25cm]
3d_{xy} & \psi_{3d_{xy}} = N_3\,\rho^2\, e^{-\rho/3}\sin2\varphi\sin^2\theta
\\ \hline
\end{array}\] De kans om het elektron in een volume-element \(\dd(x,y,z)\) op plek \((x,y,z)\) aan te treffen is gelijk aan \(\psi(x,y,z)^2\,\dd(x,y,z)\) voor een gegeven golffunctie \(\psi(x,y,z)\).
Dit betekent dat integratie over de gehele ruimte\(\iiint_{\text{3-D ruimte}}\psi_{1s}^2\,\dd(x,y,z)\) gelijk moet zijn aan \(1\). Met andere woorden: de golffunctie is genormaliseerd.
Normalisatie van 1s orbitaalfunctie We controleren normalisatie voor de golffunctie van de \(1s\) orbitaal: \[\begin{aligned}\iiint_{\text{3-D ruimte}}\psi_{1s}^2\,\dd(x,y,z) &= N_1^2\cdot \lim_{N\to\infty}\int_{r=0}^{r=N}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}e^{-2\rho}\,r^2\sin\theta\,\dd\theta\right)\dd\varphi\right)\dd r\\[0.25cm] &= \frac{1}{\pi}\cdot \lim_{N\to\infty}\int_{\rho=0}^{\rho=N}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}e^{-2\rho}\,\rho^2\sin\theta\,\dd\theta\right)\dd\varphi\right)\dd \rho\\[0.25cm]&\phantom{abcuva}\blue{\text{substitutie }r=\frac{a_0}{Z}\,\rho, \dd r = \frac{a_0}{Z}\,\dd\rho}\\[0.25cm] &= \frac{1}{\pi}\cdot\left(\lim_{N\to\infty}\int_{\rho=0}^{\rho=N}\rho\,e^{-2\rho}\,\dd\rho\right)\cdot \left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\,\dd\varphi\right)\cdot \left(\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\sin\theta\right)\\[0.25cm] &= \frac{1}{\pi} \cdot\left(\lim_{N\to\infty}\int_{\rho=0}^{\rho=N}\rho\,e^{-2\rho}\,\dd\rho\right)\cdot \biggl[\varphi\biggr]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\cdot \bigg[-\cos\theta\biggr]_{\theta=0}^{\theta}-\cos\theta\biggr]_{\theta=0}^{\theta=\pi}\\[0.25cm] &= \frac{1}{\pi}\cdot 4\pi \cdot \lim_{N\to\infty}\int_{\rho=0}^{\rho=N}\rho^2\,e^{-\rho}\dd\rho\\[0.25cm] &\phantom{abcuva}\blue{\int_{0}^{\infty} x^n\,e^{-\alpha\,x}=\dfrac{n!}{\alpha^{n+1}}, \quad n\in\mathbb{N}, \alpha>0}\\[0.25cm] &= 4 \cdot \frac{2!}{2^3}\\[0.25cm] &= 1
\end{aligned}\]
Gemiddelde afstand van elektron tot de kern voor de 1s orbitaal De gemiddelde afstand \(\langle r\rangle\) van het elektron tot de kern in de \(1s\) orbitaal van een waterstofachtig atoom met kernlading \(Z\) is de verwachtingswaarde van \(r\) bij de golffunctie \(N_1\,e^{-\rho}\). Die kan als volgend berekend worden: \[\langle r\rangle=\iiint_{\text{3-D ruimte}}r\,\psi_{1\,\!s}^2\,\dd(x,y,z)\] Dit doen we in bolcoördinaten: \[\begin{aligned}\iiint_{\text{3-D ruimte}}&r\,\psi_{1\,\!s}^2\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm]
&= \frac{a_0}{Z}\cdot N_1^2 \int_{r=0}^{r=\infty}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}r\,e^{-2\rho}\,r^2\,\sin\theta\,\dd\theta\right)\dd\varphi\right)\dd r\\[0.25cm]
&=\frac{a_0}{Z}\cdot \frac{1}{\pi} \int_{\rho=0}^{\rho=\infty}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\rho^3\,e^{-2\rho}\,\sin\theta\,\dd\theta\right)\dd\varphi\right)\dd \rho\\[0.25cm]
&=\frac{a_0}{Z}\cdot \frac{1}{\pi} \left(\int_{0}^{\infty} \rho^3\,e^{-2\rho}\,\dd\rho\right)\cdot \left(\int_{0}^{2\pi}\dd\varphi\right)\cdot \left(\int_{0}^{\pi}\,\sin\theta\,\dd\theta\right)\\[0.25cm] &= \frac{a_0}{Z}\cdot \frac{1}{\pi} \left(\int_{0}^{\infty} \rho^3\,e^{-2\rho}\,\dd\rho\right)\cdot \biggl[\varphi\biggr]_0^{2\pi}\cdot \biggl[-\cos\theta\biggr]_0^{\pi}\\[0.25cm]
&= \frac{a_0}{Z}\cdot \frac{1}{\pi} \cdot\frac{3! }{2^4}\cdot 2\pi\cdot 2\\[0.25cm]
&= \frac{a_0}{Z}\cdot \frac{1}{\pi} \cdot \frac{3}{8}\cdot 2\pi\cdot 2\\[0.25cm]
&= \frac{3}{2}\,\frac{a_0}{Z}\end{aligned}\]
